2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第六节数列的综合问题 文

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资源描述
第六节数列的综合问题在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.知识梳理一、等差、等比数列的一些重要结论1等差数列an中,若mnpq,则amanapaq.2等比数列an中,若mnpq,则amanapaq.3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,S4m S3m,仍为等差数列4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,S4m S3m,仍为等比数列(m为偶数且公比为1的情况除外)5两个等差数列an与bn的和、差构成的数列anbn,anbn仍为等差数列6两个等比数列an与bn的积、商、倒数构成的数列anbn,仍为等比数列7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列9若an为等差数列,则(c0)是等比数列10若bn(bn0)是等比数列,则logcbn(c0且c1)是等差数列二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法:ad,a,ad;四个数成等差的设法:a3d,ad,ad,a3d.三个数成等比的设法:,a,aq;四个数成等比的设法:,aq,aq3(因为其公比为q20,对于公比为负的情况不能包括)三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1对于等差数列ana1(n1)ddn(a1d),当d0时,an是关于n的一次函数,对应的点(2 / 8n,an)是位于直线上的若干个离散的点;当d0时,函数是单调增函数,对应的数列是单调递增数列;当d0时,函数是常数函数,对应的数列是常数列;当d0时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数列若等差数列的前n项和为Sn,则Snpn2qn(p,qR)当p0时,an为常数列;当p0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题2对于等比数列ana1qn1,可用指数函数的性质来理解当a10,q1或a10,0q1时,等比数列an是单调递增数列;当a10,0q1或a10,q1时,等比数列an是单调递减数列;当q1时,是一个常数列;当q0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列四、数列应用的常见模型1等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差2等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比3递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an1的递推关系,或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系基础自测1设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1b14,a4b41,则下列结论正确的是()Aa2b2Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析:设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d1,q,于是a23b22.故选A.答案:A2在等差数列an中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n()A8 B10C12 D15解析:由已知,a1a2a315,anan1an278,两式相加,得(a1an)(a2an1)(a3an2)93,即a1an31.由Sn155,得n10.答案:B3(2012湖南师大附中测试)在数列和中,bn是an与an1的等差中项,a12且对任意nN*都有3an1an0,则数列的通项公式为_答案:bn43n.4. 一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过_分钟,该病毒占据64MB内存(1MB210KB)解析:依题意可知:a02,a122,a223,an2n1,64MB64210216KB,令2n1216,得n15.开机后45分钟该病毒占据64MB内存答案:45 1(2013辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和若a1,a3是方程x25x40的两个根,则S6_.解析:因为a1,a3是方程x25x40的两根,且q1,所以a11,a34,则公比q2,因此S663.答案:632已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.解析:(1)当nkN*时,Snn2kn取最大值,即8k2k2k2,故k4,从而anSnSn1n(n2)又a1S1,ann.(2)设bn,Tnb1b2bn1,Tn2TnTn2144.1(2013东北三校第二次联考文改编)已知数列an满足a1,an1,nN*,则|a1|a2|a100|_.解析:依题意a22,a31,a4,a52,所以数列an是周期为3的周期数列,因为|a1|a2|a3|,所以|a1|a2|a100|33|a100|a1|116.答案:1162已知数列an,bn中,对任何正整数n都有a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1.(1)若数列bn是首项为1和公比为2的等比数列,求数列an的通项公式(2)若数列an是等差数列,数列bn是否是等比数列?若是,请求出通项公式;若不是,请说明理由(3)求证:.(1)解析:依题意,数列bn的通项公式为bn2n1(nN*),由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1,可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11(n2),两式相减,可得anbnn2n1,即ann.当n1时,a11,从而对一切nN*,都有ann.所以数列an的通项公式是ann.(2)解析:(法一)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1,即bn(n2)bn.要使是一个与n无关的常数,当且仅当a1d0,即当等差数列an满足a1d0时,数列bn是等比数列,其通项公式是bn.当等差数列an满足a1d时,数列bn不是等比数列(法二)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则ana1(n1)d.由(1)得anbnn2n1,即bn(n2)若数列bn是等比数列,则,要使上述比值是一个与n无关的常数,需且只需a1d0,即当等差数列an满足a1d0时,数列bn是等比数列,其通项公式是bn;当等差数列an满足a1d时,数列bn不是等比数列(3)证明:由(1)知anbnn2n1, (n3),当n1时,1;当n2时,1,故. 希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!
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