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第8讲 函数与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1函数f(x)sin xx零点的个数是 ()A0 B1 C2 D3解析f(x)cos x10，f(x)单调递减，又f(0)0，则f(x)sin xx的零点是唯一的答案B2(2013·泰州模拟)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间 ()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析f(x)exx4，f(x)ex1>0，函数f(x)在R上单调递增对于A项，f(1)e1(1)45e1<0，f(0)3<0，f(1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确对于C项，f(1)e14e3<0，f(2)e224e22>0，f(1)f(2)<0，故选C.答案C3(2013·石家庄期末)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解之得0<a<3.2 / 9答案C4(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x<2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 ()A6 B7 C8 D9 解析当0x<2时，令f(x)x3x0，得x0或x1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知yf(x)在0,6)上有6个零点，又f(6)f(3×2)f(0)0，f(x)在0,6上与x轴的交点个数为7.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5已知函数f(x)g(x)f(x)xa，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为_解析设n为自然数，则当n<xn1时，f(x)(xn1)2，则当x>0时，函数f(x)的图象是以1为周期重复出现而函数yxa是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a1)时与函数f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a<1.答案(，1)6函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_解析本题即求方程ff(x)1的所有根的集合，先解方程f(t)1，即或得t2或t.再解方程f(x)2和f(x).即或和或得x3或x和x或x.答案三、解答题(共25分)7(12分)设函数f(x)(x>0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)m有两个不相等的正根8(13分)已知函数f(x)x32x2ax1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，求实数a的取值范围解由题意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4，a3.(2)法一当g(1)a10，a1时，g(x)f(x)的零点x(1,1)；当g(1)7a0，a7时，f(x)的零点x(1,1)，不合题意；当g(1)g(1)<0时，1<a<7；当时，a<1.综上所述，a.法二g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于3x24xa在区间(1,1)上有解，也等价于直线ya与曲线y3x24x在(1,1)有公共点作图可得a.或者又等价于当x(1,1)时，求值域a3x24x32.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2011·陕西)函数f(x)cos x在0，)内 ()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点解析令f(x)0，得cos x，在同一坐标系内画出两个函数y与ycos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程cos x只有一个解函数f(x)只有一个零点答案B2(2012·辽宁)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为 ()A5 B6 C7 D8解析由题意知函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0<x，则x3xcos(x)，即x2|cos x|.同理可以得到在区间，上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根所以总共有6个答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x2.若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围为_解析依题意得f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数g(x)f(x)kxk在区间1,3内有4个零点，即函数yf(x)与yk(x1)的图象在区间1,3内有4个不同的交点在坐标平面内画出函数yf(x)的图象(如图所示)，注意到直线yk(x1)恒过点(1,0)，由题及图象可知，当k时，相应的直线与函数yf(x)在区间1,3内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案4若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”的个数是_解析设P(x，y)、Q(x，y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则y，y2(x)24(x)12x24x1，2x24x10，在同一坐标系中作函数y1、y22x24x1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案2三、解答题(共25分)5(12分)设函数f(x)3ax22(ac)xc (a>0，a，cR)(1)设a>c>0.若f(x)>c22ca对x1，)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图象的对称轴为x，由条件a>c>0，得2a>ac，故<<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间1，)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在1，)内是增函数若f(x)>c22ca对x1，)恒成立，则f(x)minf(1)>c22ca，即ac>c22ca，得c2c<0，所以0<c<1.(2)若f(0)·f(1)c·(ac)<0，则c<0，或a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点若f(0)c>0，f(1)ac>0，则a>c>0.因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图象的对称轴是x.而f<0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点6(13分)已知二次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12t(视区间a，b的长度为ba)解(1)函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有即20q12.(2)0t<10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是x8.当0t6时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t，t；当6<t8时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得t8；当8<t<10时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t，即t217t720，解得t8,9，t9.综上可知，存在常数t，8,9满足条件.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计·高考总复习光盘中内容. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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