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第5讲 数列的综合应用A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知an为等比数列下面结论中正确的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q1时不正确；选项C，当q1时不正确；选项D，当a11，q2时不正确；选项B正确，因为aa2a1a32a.答案B2满足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是 ()A9 B10 C11 D12解析因为a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，则满足Sn>1 025的最小n值是11.答案C3(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2.当n1时也适合，据题意令2 / 13an150n5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年答案C4(2013·福州模拟)在等差数列an中，满足3a47a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n ()A7 B8 C9 D10解析设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，则n9，当n9时，an>0，同理可得n10时，an<0.故当n9时，Sn取得最大值答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 1006(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.解析赋值法如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x3，y6，2.答案2三、解答题(共25分)7(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，S535，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，因为S55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n×2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.8(13分)(2012·广东)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.(1)解当n1时，2a1a241a23，当n2时，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)解2Snan12n11，当n2时，有2Sn1an2n1，两式相减整理得an13an2n，则·1，即2.又23，知是首项为3，公比为的等比数列，23n1，即an3n2n，n1时也适合此式，an3n2n.(3)证明由(2)得.当n2时，n>2，即3n2n>2n，<123n1<.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2012·济南质检)设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于 ()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)×(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(2×21)(2×41)(2×2n1)2n23n.答案A2(2012·四川)设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2解析设g(x)2xsin x，由已知等式得ggg0，则必有a30，即a3(否则若a30，则有20，注意到g(x)是递增的奇函数，g0，ggg，gg0，同理gg0，ggg0，这与“ggg0”相矛盾，因此a30不可能；同理a30也不可能)；又an是公差为的等差数列，a12×，a1，a5，f(a3)fcos，f(a3)2a1a52，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a3a99的值为_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在点(1,1)处的切线斜率kn1，故切线方程为y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1·x2··x99)lg×××lg 2.答案24(2012·沈阳四校联考)数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：a24；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和为Tn；若存在正整数k，使Sk<10，Sk110，则ak.其中正确的结论有_(将你认为正确的结论序号都填上)解析依题意，将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于.对于，注意到21<24<28，因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24，因此正确对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×，因此不正确，正确对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak，因此正确综上所述，其中正确的结论有.答案三、解答题(共25分)5(12分)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1>cn(nN*)(1)解设公差为d，则解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以数列bn的首项为b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为Kn2·213·22(n1)·2n，故2Kn2·223·23n·2n(n1)·2n1，得Kn2·2122232n(n1)·2n1，Knn·2n1，则cn.cn1cn>0，所以cn1>cn(nN*)6(13分)(2012·重庆)设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)若a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件证明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nN*成立从而an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要证的不等式化为：1a2aa(1a)(n3)，即证：1a2aa(1a)(n2)，当a21时，上面不等式的等号成立当1a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为负；当a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为正；因此当a21且a21时，总有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式对r从1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计·高考总复习光盘中内容. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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