五年高考真题高考数学复习 第十章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差 理全国通用

高考数学精品复习资料 2019.5 第六节第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量的分布列、均值与方差 考点一 离散型随机变量的分布列 1(20 xx广东，4)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X的数学期望E(X)( ) A.32 B2 C.52 D3 解析 由已知条件可知E(X)1352310311032，故选 A. 答案 A 2(20 xx安徽，17)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果 (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望) 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A. P(A)A12A13A25310. (2)X的可能取值为 200，300，400. P(X200)A22A25110， P(X300)A33C12C13A22A35310， P(X400)1P(X200)P(X300)1110310610. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 610 E(X)200110300310400610350. 3(20 xx福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 则P(A)56453412. (2)依题意得，X所有可能的取值是 1，2，3. 又P(X1)16，P(X2)561516， P(X3)5645123. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 16 16 23 所以E(X)11621632352. 4(20 xx重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)C12C13C15C31014. (2)X的所有可能值为 0，1，2，且 P(X0)C38C310715，P(X1)C12C28C310715， P(X2)C22C18C310115. 综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 故E(X)07151715211535(个) 5(20 xx天津，16)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)C13C27C03C37C3104960. 所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X的所有可能值为 0，1，2，3. P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3) 所以，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 随机变量X的数学期望E(X)0161122310313065. 6(20 xx四川，17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立 (1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 解 (1)X可能的取值为：10，20，100，200.根据题意，有 P(X10)C13121112238， P(X20)C23122112138， P(X100)C33123112018， P(X200)C03120112318. 所以X的分布列为 X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1，2，3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)118311512511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X的数学期望为E(X)10382038100182001854. 这表明，获得分数X的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大 7(20 xx山东，18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记 3 分，在D上记 1 分，其他情况记 0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望 解 (1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)， 则P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316； 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)， 则P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515. 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上” 由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3， 由事件的独立性和互斥性， P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3) P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3) P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3) 1215131516351615310， 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量可能的取值为 0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P(0)P(A0B0)1615130， P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1) 1315163516， P(2)P(A1B1)133515， P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3) 12151615215， P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3) 123513151130， P(6)P(A3B3)1215110. 可得随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 6 P 130 16 15 215 1130 110 所以数学期望E()013011621532154113061109130. 8(20 xx重庆，18)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片 (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望 (注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数) 解 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为pC34C33C39584. (2)X的所有可能值为 1，2，3，且 P(X1)C24C15C34C391742， P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384， P(X3)C22C17C39112， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 1742 4384 112 从而E(X)117422438431124728. 9(20 xx江西，21)随机将 1，2，2n(nN N*，n2)这 2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记a2a1，b2b1. (1)当n3 时，求的分布列和数学期望； (2)令C表示事件“与的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)； (3)对(2)中的事件C，C表示C的对立事件，判断P(C)和P(C)的大小关系，并说明理由 解 (1)当n3 时，的所有可能取值为 2，3，4，5. 将 6 个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有 C3620 种，所以的分布列为 2 3 4 5 P 15 310 310 15 E()2153310431051572. (2)和恰好相等的所有可能取值为：n1，n，n1，2n2. 又和恰好相等且等于n1 时，不同的分组方法有 2 种； 和恰好相等且等于n时，不同的分组方法有 2 种； 和恰好相等且等于nk(k1，2，n2)(n3)时，不同的分组方法有2Ck2k种； 所以当n2 时，P(C)4623， 当n3 时，P(C)22122(2C )Cnkkknn. (3)由(2)知当n2 时，P(C)13，因此P(C)P(C) 而当n3 时，P(C)P(C)，理由如下： P(C)P(C)等价于 2214(2Cnnnk. 1当n=3 时，式左边=4（2+12C）=4（2+2）=16， 右边=C36C=20，所以式成立. 2假设 n=m(m3)时式成立， 22214(2C)CmKmKmk即成立 那么，当n=m+1 时， 左边=1 2214(2Cmkkk 21122(1)22(1)14(2C )4CC+4Cmkmmmkmmmk （2m）！m！m！4（2m2）！（m1）！（m1）！ （m1）2（2m）（2m2）！（4m1）（m1）！（m1）！ （m1）2（2m）（2m2）！（4m）（m1）！（m1）！ Cm12（m1）2（m1）m（2m1）（2m1） Cm12（m1）右边 即当nm1 时式也成立 综合 1，2得：对于n3 的所有正整数，都有P(C)P(C)成立 10(20 xx天津，16)一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望 解 (1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件A，则P(A)C12C35C22C25C4767. 所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为67. (2)随机变量X的所有可能取值为 1，2，3，4. P(X1)C33C47135， P(X2)C34C47435， P(X3)C35C4727， P(X4)C36C4747. 所以随机变量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 135 435 27 47 随机变量X的数学期望E(X)11352435327447175. 11(20 xx北京，16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3月 1 日至 3 月 13 日的某一天到达该市，并停留 2 天 (1)求此人到达当日空气重度污染的概率； (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 设Ai表示事件“此人于 3 月i日到达该市”(i1，2，13) 根据题意，P(Ai)113，且AiAj(ij) (1)设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则BA5A8. 所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213. (2)由题意可知，X的所有可能取值为 0，1，2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)413， P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)413， P(X0)1P(X1)P(X2)513. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 513 413 413 故X的期望E(X)0513141324131213. (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 12(20 xx江西，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队 (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望 解 (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2828 种， X0 时，两向量夹角为直角共有 8 种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X0)82827. (2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1，0，1， X2 时，有 2 种情形；X1 时，有 8 种情形；X1 时，有 10 种情形 所以X的分布列为： X 2 1 0 1 P 114 514 27 27 E(X)(2)114(1)514027127314. 13.(20 xx湖南，18)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 解 (1)所种作物总株数N1234515，其中三角形地块内部的作物株数为 3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C13C11236 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3328 种 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为83629. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列 因为P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)， 所以只需求出P(Xk)(k1，2，3，4)即可 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k1，2，3，4)，则 n12，n24，n36，n43. 由P(Xk)nkN得 P(X1)215，P(X2)415， P(X3)61525， P(X4)31515. 故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P 215 415 25 15 所求的数学期望为 E(Y)51215484154525421534649042546. 14(20 xx新课标全国，19)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100，110)，则取X105，且X105 的概率等于需求量落入100，100)的频率)，求T的数学期望 解 (1)当X100，130)时，T500X300(130X)800X39 000， 当X130，150时，T50013065 000. 所以T800X39 000，100X2)0.5； X1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟， 所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49； X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 法二 X所有可能的取值为 0，1，2. X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟， 所以P(X0)P(Y2)0.5； X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； P(X1)1P(X0)P(X2)0.49. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 考点二 均值与方差 1(20 xx浙江，9)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1，2)个球放入甲盒中 (a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1，2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为pi(i1，2)则( ) Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)，故选 A. 答案 A 2(20 xx湖北，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)( ) A.126125 B.65 C.168125 D.75 解析 由题意可知涂漆面数X的可能取值为 0，1，2，3. 由于P(X0)27125，P(X1)54125，P(X2)36125， P(X3)8125，故E(X)0271251541252361253812515012565. 答案 B 3(20 xx上海，9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_. 解析 令“？”为a，“！”为b，则 2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2. 答案 2 4(20 xx浙江，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)112，则随机变量X的数学期望E(X)_. 解析 P(X0)13(1p)2112， p12. 则P(X1)231212131212213， P(X2)2312122131212512， P(X3)23121216. 则E(X)0112113251231653. 答案 53 5(20 xx天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 (1)设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 解 (1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635. 所以，事件A发生的概率为635. (2) 随机变量X的所有可能取值为 1，2，3，4. P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4) 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 随机变量X的数学期望E(X)1114237337411452. 6(20 xx山东，19)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0分；若能被5整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分 (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X) 解 (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C3984， 随机变量X的取值为：0，1，1，因此 P(X0)C38C3923， P(X1)C24C39114， P(X1)1114231142， 所以X的分布列为 X 0 1 1 P 23 114 1142 则E(X)023(1)11411142421. 7(20 xx湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖 (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望 解 (1)记事件A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球， A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球， B1顾客抽奖 1 次获一等奖，B2顾客抽奖 1 次获二等奖， C顾客抽奖 1 次能获奖 由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2. 因为P(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215， P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2) P(A1)P(A2)P(A1)P(A2) P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2) 251121251212. 故所求概率为 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512710. (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为15，所以XB3，15. 于是 P(X0)C0315045364125， P(X1)C1315145248125， P(X2)C2315245112125， P(X3)C331534501125. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X的数学期望为E(X)31535. 8(20 xx安徽，17)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望) 解 用A表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5. (1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2321323223132325681. (2)X的可能取值为 2，3，4，5. P(X2)P(A1A2)P(B1B2) P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59， P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29， P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1) P(A2)P(B3)P(B4)1081， P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 E(X)25932941081588122481. 9(20 xx福建，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： ()顾客所获的奖励额为 60 元的概率； ()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 解 (1)设顾客所获的奖励额为X. ()依题意，得P(X60)C11C13C2412， 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12. ()依题意，得X的所有可能取值为 20，60. P(X60)12，P(X20)C23C2412， 即X的分布列为 X 20 60 P 12 12 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)2012601240(元) (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元所以，先寻找期望为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案 1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望为E(X1)201660231001660，X1的方差为D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003. 对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望为E(X2)40166023801660， X2的方差为D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案 2. 10(20 xx辽宁，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2)用X表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个”，因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72. 11(20 xx新课标全国，19)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取 1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为 100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望 解 (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的 4 件产品是优质品为事件B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2) P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2) 41611611612364. (2)X可能的取值为 400，500，800，并且 P(X400)14161161116， P(X500)116，P(X800)14. 所以X的分布列为 X 400 500 800 P 1116 116 14 E(X)400111650011680014506.25.