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高考数学精品复习资料 2019.5考 点 考 情 绝对值不等式的求解高考对本讲内容的考查主要有：(1)不等式性质的应用，绝对值不等式的解法，如陕西T15A.(2)不等式的证明，如江苏T21D.(3)与绝对值不等式有关的参数问题的求解.与绝对值不等式有关的参数范围问题不等式的证明与综合应用1(20xx·福建高考)设不等式|x2|<a(aN*)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)因为A，且A，所以<a，且a，解得<a.又因为aN*，所以a1.(2)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号所以f(x)的最小值为3.2(20xx·江苏高考)已知ab>0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3(20xx·福建高考)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又因为f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.1绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法(1)|axb|c(c>0)caxbc.(2)|axb|c(c>0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想(3)通过构建函数，利用函数图像求解，体现函数与方程思想4证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法5二维形式的柯西不等式若a，b，c，dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立.热点一绝对值不等式的求解例1(20xx·辽宁高考)已知函数f(x)|xa|，其中a>1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值自主解答(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2<x<4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.规律·总结绝对值不等式的求解方法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c>0，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c<0，则|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.2.|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.1已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：当x2时，f(x)2x(5x)3；当2<x<5时，f(x)x2(5x)2x7，所以3<f(x)<3；当x5时，f(x)x2(x5)3.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15x28x180(x4)220，无解，所以f(x)x28x15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)x28x15x210x2205x5，所以f(x)x28x15的解集为x|5x<5；当x5时，f(x)x28x15x28x1202x6，所以f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x6热点二与绝对值不等式有关的参数范围问题例2(20xx·新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围自主解答(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y<0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.规律·总结1解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围2解答此类问题应熟记以下转化：f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a无解f(x)maxa；f(x)<a无解f(x)mina.2已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)>5的解集为x|x>2或x<3(1)求a的值；(2)若不等式f(x)fk在R上有解，求k的取值范围解：(1)由|ax1|>5得ax>4或ax<6.又f(x)>5的解集为x|x>2或x<3，当a>0时，解得x>或x<，则a2；当a0时，经验证不合题意综上，a2.(2)设g(x)f(x)f，则g(x)则函数g(x)的图像如图所示，由图像可知，g(x)，故原不等式在R上有解时，k.即k的取值范围是.热点三不等式的证明例3(20xx·新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcac；(2) 1.自主解答(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcac.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ac1.所以3(abbcac)1，即abbcac.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.规律·总结不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形3(1)设ab0，证明：3a32b33a2b2ab2；(2)证明：a68b6c62a2b2c2；(3)若a，b，c为正实数，证明：a24b29c22ab3ac6bc.证明：(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b2>0.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c63 3×a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.热点四不等式的综合应用例4已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论，求函数y(0<x<1)的最小值自主解答(1)证明：法一：a>0，b>0，(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab，当且仅当ab时等号成立法二：(ab)，又a>0，b>0，0，当且仅当ab时等号成立ab.(2)0<x<1，1x>0，由(1)的结论，得函数y(1x)x1，当且仅当1xx，即x时等号成立函数y(0<x<1)的最小值为1.规律·总结基本不等式和柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用基本不等式时应注意其条件“一正、二定、三相等”；运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式4已知函数f(x)2.(1)求证：f(x)5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f(x)|m2|恒成立，求实数m的取值范围解：(1)证明：由柯西不等式得(2)2(2212)·()2()225，所以f(x)25，当且仅当，即x4时等号成立(2)由(1)知f(x)5，又不等式f(x)|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3，故m的取值范围是(，37，)
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