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高考数学精品复习资料 2019.5第十三篇坐标系与参数方程(选修44)第1节 坐标系课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号平面直角坐标系中的伸缩变换3极坐标与直角坐标的互化1、7、10直线和圆的极坐标方程及应用4、9、11简单曲线的极坐标方程及应用2、5、6、8、12、13一、选择题1.(20xx天津模拟)已知曲线的极坐标方程为=4cos 22-2,则其直角坐标方程为(C)(A)x2+(y+1)2=1(B)(x+1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=1(D)x2+(y-1)2=1解析:由=4cos 22-2得=2(cos +1)-2=2cos ,即x2+y2=2x,得(x-1)2+y2=1.2.(20xx海淀模拟)在极坐标系中,曲线=4cos 围成的图形面积为(C)(A)(B)4(C)4(D)16解析:由曲线的极坐标方程=4cos ,得2=4cos ,所以圆的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,化为标准方程,得(x-2)2+y2=4,所以圆的半径为2,面积为4.3.在平面直角坐标系中,经伸缩变换后曲线x2+y2=16变换为椭圆x2+y216=1,此伸缩变换公式是(B)(A)x=14xy=y(B)x=4xy=y(C)x=2xy=y(D)x=4xy=8y解析:设此伸缩变换为x=x(0),y=y(0),代入x2+y216=1,得(x)2+(y)216=1,即162x2+2y2=16.与x2+y2=16比较得162=1(0),2=1(0),故=14,=1,即所求变换为x=14x,y=y.4.(20xx高考安徽卷)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为(B)(A)=0(R)和cos =2(B)=2(R)和cos =2(C)=2(R)和cos =1(D)=0(R)和cos =1解析:把圆=2cos 的方程化为(x-1)2+y2=1知,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,从而得这两条切线的极坐标方程为=2(R) 和cos =2.故选B.二、填空题5.(20xx韶关模拟)在极坐标系中,过点A（1,-2）引圆=8sin 的一条切线,则切线长为.解析:点A（1,-2）的极坐标化为直角坐标为A(0,-1),圆=8sin 的直角坐标方程为x2+y2-8y=0,圆的标准方程为x2+(y-4)2=16,点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|=5,所以切线长为|AC|2-r2=3.答案:36.(20xx广州模拟)已知曲线C1的极坐标方程为=6cos ,曲线C2的极坐标方程为=4(R),曲线C1、曲线C2的交点为A,B,则弦AB的长为.解析:由2=x2+y2,tan =yx,将曲线C1与曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C1:x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9,故C1是圆心为(3,0),半径为3的圆,C2:=4,即y=x,表示过原点倾斜角为4的直线.因为y=x,x2+y2=6x的解为x1=0,y1=0,x2=3,y2=3,所以|AB|=32.答案:327.(20xx南昌调研)在极坐标系中,圆=2cos 与直线=4(0)所表示的图形的交点的极坐标是.解析:圆=2cos 可转化为x2-2x+y2=0,直线=4(0)可转化为y=x(x0),两个方程联立得交点坐标是(1,1),可得其极坐标是（2,4）.答案:（2,4）8.(20xx高考天津卷)在以O为极点的极坐标系中,圆=4sin 和直线sin =a相交于A,B两点.若AOB是等边三角形,则a的值为.解析:由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2+y2=4y和y=a,它们相交于A,B两点,AOB为等边三角形,所以不妨取直线OB的方程为y=3x,联立x2+y2=4y,y=3x,消去y,得x2=3x,解得x=3或x=0,所以a=3.答案:39.(20xx保定模拟)点M,N分别是曲线sin =2和=2cos 上的动点,则|MN|的最小值是.解析:sin =2化为普通方程为y=2,=2cos 化为普通方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆(x-1)2+y2=1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y=2的距离减去半径,即为2-1=1.答案:1三、解答题10.在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l:sin-4=22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.解:(1)圆O:=cos +sin ,即2=cos +sin ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:sin-4=22,即sin -cos =1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.(2)由x2+y2-x-y=0,x-y+1=0得x=0,y=1,故直线l与圆O公共点的极坐标为1,2.11.(20xx淮安模拟)在极坐标系中,曲线L:sin 2=2cos ,过点A(5,)（为锐角且tan =34）作平行于=4(R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的普通方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),由曲线L的极坐标方程sin 2=2cos ,得2sin 2=2cos ,所以L的直角坐标方程为y2=2x.由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的普通方程为y-3=x-4,即y=x-1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),由y=x-1,y2=2x消去y,得x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式得|BC|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=26.12.(20xx苏州模拟)在极坐标系中,圆C是以点C（2,-6）为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程.(2)求圆C被直线l:=-512所截得的弦长.解:法一(1)设所求圆上任意一点M(,),如图,在RtOAM中,OMA=90,AOM=2-6,|OA|=4.因为cos AOM=|OM|OA|,所以|OM|=|OA|cos AOM,即=4cos（2-6）=4cos（+6）,验证可知,极点O与A（4,-6）的极坐标也满足方程,故=4cos （+6）为所求.(2)设l:=-512交圆C于点P,在RtOAP中,OPA=90,易得AOP=4,所以|OP|=|OA|cos AOP=22.法二(1)圆C是将圆=4cos 绕极点按顺时针方向旋转6而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是=4cos（+6）.(2)将=-512代入圆C的极坐标方程=4cos（+6）,得=22,所以圆C被直线l:=-512所截得的弦长为22.13.(20xx郑州模拟)已知曲线C1的极坐标方程为cos（-3）=-1,曲线C2的极坐标方程为=22cos（-4）.以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程.(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解:(1)依题意,得=22cos（-4）=2(cos +sin ),即2=2(cos +sin ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲线C1的极坐标方程为cos（-3）=-1,即（12cos +32sin ）=-1,化为直角坐标方程为x+3y+2=0,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d=|1+3+2|12+(3)2=3+32r=2,于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为3+3+222.
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