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高考数学精品复习资料 2019.5第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号分类加法计数原理2、5、8、9分步乘法计数原理1、4、10、13综合应用3、6、7、11、12、14、15、16一、选择题1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为(C)(A)16(B)13(C)12(D)10解析:由分步乘法计数原理可知,走法总数为43=12.故选C.2.如图所示,在A、B间有四个焊接点1、2、3、4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A、B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有(C)(A)9种(B)11种(C)13种(D)15种解析:按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落1个,则有(1),(4)共2种;若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3)共6种;若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种;若脱落4个,有(1,2,3,4)共1种.综上共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.3.(20xx贵阳模拟)已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点(B)(A)18个(B)10个(C)16个(D)14个解析:第三、四象限内点的纵坐标为负值,分2种情况讨论.取M中的点作横坐标,取N中的点作纵坐标,有32=6(种)情况;取N中的点作横坐标,取M中的点作纵坐标,有41=4(种)情况.综上共有6+4=10(种)情况.4.(20xx泰安模拟)从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为(A)(A)6(B)20(C)100(D)120解析:分三步:第一步:c=0只有1种选法;第二步:确定a,a只能从-2,-1中选一个,有2种不同的选法;第三步:确定b,b只能从1,2,3中选一个,有3种不同的选法.根据分步乘法计数原理得123=6(种)不同的选法.5.(20xx西安模拟)将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为(D)(A)18(B)15(C)12(D)9解析:若甲、乙在高一年级,则丙一定在高二年级,此时不同的安排种数为3种;若甲、丙在高一年级,则乙一定在高二年级,此时不同的安排种数为3种;若甲在高一年级,乙丙在高二年级,此时不同的安排种数为3种,所以共有9种不同的安排种数.6.(20xx湖州模拟)如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则有多少种不同的涂色方法(C)(A)24种(B)72种(C)84种(D)120种解析:如图设四个直角三角形顺次为A,B,C,D按ABCD顺序涂色,下面分两种情况:(1)A,C不同色(注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色):有4322=48(种).(2)A,C同色(注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色):有4313=36(种).共有84种.7.(20xx宁德模拟)一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等),那么这样的三位数共有(C)(A)240个(B)249个(C)285个(D)330个解析:因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字,所以当十位数字是0时有99种结果,当十位数字是1时有88种结果,当十位数字是2时有77种结果,当十位数字是3时有66种结果,当十位数字是4时有55种结果,当十位数字是5时有44种结果,当十位数字是6时有33种结果,当十位数字是7时有22种结果,当十位数字是8时有1种结果,共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285种结果.8.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为(B)(A)4(B)6(C)9(D)12解析:如图所示,根据题意,1,2,9三个数字的位置是确定的,余下的数中,5只能在a,c位置,8只能在b,d位置,依(a,b,c,d)顺序,具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8),(6,7,5,8),(6,8,5,7),(7,8,5,6),合计6种.二、填空题9.(20xx宁德模拟)设a,b1,2,3,则方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是.解析:要得到直线ax+by=0,需要确定a和b的值,当a,b不同时,可确定32=6条不同的直线,当a,b相同时,可确定1条直线.故方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是7.答案:710.(20xx南宁模拟)将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内,则4号盒子中至少有一个球的放法有种.解析:根据题意,将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内,有444=64(种)放法,而4号盒子中没有球,即3个小球放在1,2,3的盒子里,有333=27(种)放法,所以4号盒子中至少有一个球的放法有64-27=37(种).答案:3711.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有种.解析:按甲的安排进行分类讨论甲排周一,则乙、丙排后4天中2天,有43=12(种);甲排周二,则乙、丙排后3天中2天,有32=6(种);甲排周三,则乙、丙排后2天,有21=2(种).故共有12+6+2=20(种).答案:2012.(20xx石家庄市模拟)为举办校园文化节,某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同的推荐方案的种数为.(用数字作答)解析:若参加乐器培训的是女生,则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有322=12(种)方案;若参加乐器培训的是男生,则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有232=12(种)方案,所以共有24种推荐方案.答案:2413.有这样一种数字游戏:在33的表格中,要求在每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字,并且每一行和每一列都不能出现重复的数字.若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图),则此游戏有种不同的填法;若游戏开始时表格是空白的(如图),则此游戏共有种不同的填法.解析:据题意再将第一列的另外两个填上有2种方法,则第一行中另外两个也有2种填法,其他位置上的数字确定,故共有4种填法.若表格是空白的则可先给第一列排数共有6种方法,然后再给第一行排,此时第一位上的数已排定,只需给第一行第二列和第三列的数排,共有2种方法,则由条件,其他位置上的数字确定,故共有62=12(种)排法.答案:41214.(20xx天水调研)电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有10封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众.若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有种不同的结果.解析:由题意知本题是一个分两类计数问题:幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有10920=1800(种).幸运之星在乙箱中抽,同理有201910=3800(种).因此共有不同结果1800+3800=5600(种).答案:5600三、解答题15.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用,共有多少种不同的取法?(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选择使用,问一共有多少种不同的取法?解:(1)任取一张手机卡,可以从10张不同的中国移动卡中任取一张,或从12张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完成这件事,故应用分类加法计数原理,有10+12=22种取法.(2)从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完成:从移动卡中任取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步乘法计数原理,有1012=120种取法.16.设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?解:(1)利用分类加法计数原理:5+2+7=14(种)不同的选法.(2)国画有5种不同选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法,利用分步乘法计数原理得到527=70(种)不同的选法.(3)选法分三类,分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画,由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有52+27+57=59(种)不同的选法.
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