全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题15 圆锥曲线含解析

高考数学精品复习资料 2019.5【走向高考】（全国通用）20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题15 圆锥曲线一、选择题1(20xx四川文，7)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A.B2C6D4答案D解析由题意，a1，b，故c2，渐近线方程为yx，将x2代入渐近线方程，得y1,22，故|AB|4，选D.2设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆：(x2)2y21和(x2)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值，最大值分别为()A4,8B2,6C6,8D8,12答案A解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a6，连接PA，PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R4；连接PA，PB并延长，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R8，即最小值和最大值分别为4、8.方法点拨涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义3(文)(20xx唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a0)，则抛物线的标准方程是()Ay22axBy24axCy22axDy24ax答案B解析设抛物线方程为y2mx，由焦点为F(a,0)，a0知m0)，直线方程为xmy，代入抛物线方程得y22pmyp20，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线C的方程为y28x.方法点拨求圆锥曲线标准方程时“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求a、b、p的值4(文)(20xx南昌市一模)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为()A2或B2或C.D2答案B解析(1)当双曲线的焦点在x轴上时，由题意知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以tan，所以ba，c2a，故双曲线C的离心率e2；(2)当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以tan，所以ab，c2b，故双曲线C的离心率e.综上所述，双曲线C的离心率为2或.(理)(20xx东北三省三校二模)已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为()A3B2 C. D.答案D解析由已知得：O(0,0)到直线1的距离为：d，由题意得：2d2r2即22c2整理得：c4a2c2a40，即e4e210，解得：e22或e2(舍)，e.方法点拨1.求椭圆、双曲线的离心率问题，关键是根据已知条件确定a、b、c的关系，然后将b用a、c代换，求e的值；另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系2注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用5(文)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b0，b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2| ()Am2a2 B. C.(ma) D. ma答案D解析不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|，故|PF1|PF2|ma.7(文)(20xx湖南文，6)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析考查双曲线的几何性质由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3，4)，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可因为双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故选D.(理)(20xx重庆文，9)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()AB C1D答案C解析考查双曲线的几何性质由已知得右焦点F(c,0)(其中c2a2b2，c0)，A1(a,0)，A2(a,0)；B(c，)，C(c，)；从而A1B(ca，)，(ca，)，又因为A1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)()()0；化简得到11，即双曲线的渐近线的斜率为1；故选C.8(20xx新课标理，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，且xa0.(ax)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.(理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点，则_.答案1解析由题可得C(，a)，F(b，b)，C、F在抛物线y22px上，1，故填1.10(文)(20xx湖南理，13)设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_答案解析考查双曲线的标准方程及其性质根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0，b)，从而可知点(c,2b)在双曲线上，1e.(理)(20xx南昌市二模)过原点的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的左右两支分别相交于A，B两点，F(，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|FB|4，0，则双曲线C的方程是_答案y21解析由已知得：c，FAFB，设右焦点为F1，则四边形FAF1B为矩形，|AB|2c2且|FA|2|FB|2(|FA|FB|)22|FA|FB|162|FA|FB|，|AB|2|FA|2|FB|2，|FA|FB|2，(|FA|FB|)2(|FA|FB|)24|FA|FB|8，|FA|FB|2，即|AF|AF1|2，a，b21，双曲线标准方程为y21.三、解答题11(文)(20xx湖南文，20)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率分析考查直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质和转化思想，设而不求、整体代换思想及运算求解能力等(1)由F也是椭圆C2的一个焦点及C1与C2的公共弦长列方程组求解；(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，根据，可得，(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2，设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果解析(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21 ；又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(，)，1，联立得a29，b28，故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1，由得x24kx40，由x1，x2是这个方程的两根，x1x24k，x1x24由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是这个方程的两根，x3x4，x3x4 将、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.(理)(20xx洛阳市期末)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解析(1)由题意得c1，又e，所以a2，从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2|.又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB|，故AOB的面积为定值.12(文)(20xx东北三校二模)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解析(1)O的圆心M(0,2)，半径r1，设动圆圆心P(x，y)，由条件知|PM|1等于P到l的距离，|PM|等于P到直线y2的距离，P点轨迹是以M(0,2)为焦点，y2为准线的抛物线方程为x28y.(2)设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入到x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又因为x1x2y1y2x1x28bb216b4所以直线BC恒过定点(0,4)(理)(20xx山东理，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，()证明：直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知F(，0)，设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，得|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b，设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，故直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)()由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)(1)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4()则ABE的面积S4()(x02)16，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.方法点拨定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点13(文)(20xx甘肃省三诊)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由解析(1)由题意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0,34k2m20.x1x2，x1x2.y1y1(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.kOAkOB，y1y2x1x2，2m24k23，|AB|.d，S|AB|d.方法点拨定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值(2)求解定值问题的三个步骤由特例得出一个值，此值一般就是定值；证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；得出结论(理)椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2mk为定值解析(1)因为e，所以ac，bc.代入ab3得，c，a2，b1.故椭圆的方程为y21.(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)(k0，k)代入y21，解得P(，)直线AD的方程为：yx1.与联立解得M(，)，由D(0,1)，P(，)，N(x,0)三点共线知，解得N(，0)所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)(2)方法二：设P(x0，y0)(x00，2)，则k，直线AD的方程为：y(x2)直线BP的方程为y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01可得N(，0)联立解得M(，)，因此MN的斜率为m，所以2mk(定值)14(文)(20xx辽宁葫芦岛市一模)设椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：ykxt(t0)与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P，求MON(O为坐标原点)面积的最大值解析(1)e，a23c23a23b2，2a23b2将xc代入椭圆方程得：y2，y，由题意：，2ab2 ，解得：a23，b22椭圆C的方程为：1(2)联立方程组：消去y整理得：(3k22)x26ktx3t26036k2t24(3k22)(3t26)24(3k22t2)0，3k22t2设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1x2， y1y2k(x1x2)2t2t设MN的中点为G(x0，y0)，则x0，y0线段MN的垂直平分线方程为：y将P代入得：化简得：3k224t代入式得：4tt2，0t0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1、l2于A，B两点(A、B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析(1)双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，2，2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又OAB的面积为8，|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能是1.以下证明：当直线l与x轴不垂直时，双曲线E：1也满足条件，设直线l的方程为ykxm，依题意得k2或k2，则C(，0)，记A(x1，y1)、B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得|8，即m24|4k2|4(k24)，由得，(4k2)x22kmxm2160，4k204k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又m24(k24)，0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法点拨1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P与另一动点Q有关，Q在已知曲线上运动，可用代入法求动点P的轨迹方程；否则用直译法求解2存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，其一般步骤为：