全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆含解析

高考数学精品复习资料 2019.5【走向高考】（全国通用）20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题14 直线与圆一、选择题1(文)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A.B.C. D.答案B解析由l1l2知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，l1：xy60，l2：xy0，两条平行直线l1与l2间的距离为d.故选B.(理)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()Axy20Bxy20Cxy30Dxy30答案D解析圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，直线方程为xy30.方法点拨1.两直线的位置关系方程约束条件位置关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行k1k2，且b1b2A1B2A2B10，且B1C2B2C10相交k1k2特别地，l1l2k1k21A1B2A2B1特别地，l1l2A1A2B1B20重合k1k2且b1b2A1B2A2B10且B1C2B2C102.与直线ykxb平行的直线设为ykxb1，垂直的直线设为yxm(k0)；与直线AxByC0平行的直线设为AxByC10，垂直的直线设为BxAyC10.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离2(文)(20xx·安徽文，8)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12B2或12C2或12D2或12答案D解析考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式直线3x4yb与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，1b2或12，故选D.(理)(20xx·辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案B解析由题意知，圆心C既在与两直线xy0与xy40平行且距离相等的直线上，又在直线xy0上，设圆心C(a，a)，半径为r，则由已知得，解得a1，r，故选B.方法点拨1.点与圆的位置关系几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r点在圆外，dr点在圆上；d<r点在圆内代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内2直线与圆的位置关系直线l：AxByC0(A2B20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d与r的大小关系代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号 相交d<r>0相切dr0相离d>r<03.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径3(文)(20xx·安徽文，6)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. (0，B(0，C. 0，D0， 答案D解析由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，在RtPOM中易知PO2，OM1，OPM，OPA，MPA，直线l倾斜角的范围是0，方法点拨本题还可以设出直线l的方程ykxb，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用>0求出k的范围，再求倾斜角的范围1求直线的方程常用待定系数法2两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定(理)(20xx·山东理，9)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B或C或D或答案D解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30，光线与圆(x3)2(y2)21相切，1，12k225k120，解得k或k.故选D.4(文)(20xx·湖南文，6)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21B19C9D11答案C解析本题考查了两圆的位置关系由条件知C1：x2y21，C2：(x3)2(y4)225m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r11，r2，由两圆外切的性质知，51，m9.方法点拨圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线yx2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为()Ax1BxCyDy1答案D解析A(0,1)是抛物线x24y的焦点，又抛物线的准线为y1，动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于C的半径，C与定直线l：y1总相切5(文)(20xx·哈三中一模)直线xy0截圆x2y24所得劣弧所对圆心角为()A. B.C. D.答案D解析弦心距d1，半径r2，劣弧所对的圆心角为.(理)(20xx·福建理，6)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案A解析圆心O(0,0)到直线l：kxy100的距离d，弦长为|AB|2，SOAB×|AB|·d，k±1，因此当“k1”时，“SOAB”，故充分性成立“SOAB”时，k也有可能为1，必要性不成立，故选A.方法点拨1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解2直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用dr，而不使用0.6(20xx·太原市一模)已知在圆x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3B6C4D2答案D解析圆的方程为(x2)2(y1)25，圆的最长弦AC为直径2；设圆心M(2，1)，圆的最短弦BDME，ME，BD22，故S四边形ABCDAC·BD×2×22.7(20xx·重庆理，8)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2B4C6D2答案C解析易知圆的标准方程C：(x2)2(y1)24，圆心O(2,1)，又因为直线l：xay10是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a1，A(4，1)，又因为直线AB与圆相切，则OAB为直角三角形，|OA|2，|OB|2，|AB|6.8过点P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有()A1条B2条C3条D4条答案D解析过P(2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条9(文)(20xx·江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.答案A解析本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想依题意，AOB90°，原点O在C上，又C与直线2xy40相切，设切点为D，则|OC|CD|，圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2xy40.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，2R，R.SR2.选A.(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”已知直线l1：2xya0，l2：2xya210和圆：x2y22x40相切，则a的取值范围是()Aa>7或a<3Ba>或a<C3a或a7Da7或a3答案C解析本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力两条平行线与圆都相交时，由得<a<，两条直线都和圆相离时，由得a<3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围3a或a7，故选C.方法点拨与圆有关的最值问题主要题型有：1圆的半径最小时，圆面积最小2圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值dr，最小值dr(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值dr，最小值rd.3圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值dr，最小值dr；直线与圆相交，则最大值dr，最小值0.4P(x，y)为O上一动点，求x、y的表达式(如x2y，x2y2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化二、填空题10(文)设直线mxy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦长为2，则m_.答案0解析圆的半径为2，弦长为2，弦心距为1，即得d1，解得m0.(理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2Asin2Bsin2C，则直线axbyc0被圆x2y29所截得弦长为_答案2解析由正弦定理得a2b2c2，圆心到直线距离d，弦长l222.11在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(13,13)解析本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题要使圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可即<1，解|c|<13，13<c<13.12已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2y22axay2a2a10相切，则实数a_.答案1解析由条件知点P在C上，414aa2a2a10，a1或2.当a1时，x2y22xy0表示圆，当a2时，x2y24x2y50不表示圆，a1.三、解答题13(20xx·福建文，19)已知点F为抛物线E：y22px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切分析考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明AGFBGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数解析法一：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B(，)又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二：(1)同法一(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r .又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切14(文)已知圆C：x2y2r2(r>0)经过点(1，)(1)求圆C的方程；(2)是否存在经过点(1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由解析(1)由圆C：x2y2r2，再由点(1，)在圆C上，得r212()24，所以圆C的方程为x2y24.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y1k(x1)，联立消去y得，(1k2)x22k(k1)xk22k30，由韦达定理得x1x22，x1x21，y1y2k2x1x2k(k1)(x1x2)(k1)23，因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得xy4，xy4，由得，x0，y0，由于点M也在圆C上，则()2()24，整理得3·x1x2y1y24，即x1x2y1y20，所以1(3)0，从而得，k22k10，即k1，因此，直线l的方程为y1x1，即xy20.若直线l的斜率不存在，则A(1，)，B(1，)，M(，)()2()244，故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k1，直线方程为xy20.(理)已知圆O：x2y22交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由解析(1)因为a，e，所以c1，则b1，即椭圆C的标准方程为y21.(2)因为P(1,1)，F(1,0)，所以kPF，kOQ2，所以直线OQ的方程为y2x.又Q在直线x2上，所以点Q(2,4)kPQ1，kOP1，kOP·kPQ1，即OPPQ，故直线PQ与圆O相切(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0±)，则y2x，kPF，kOQ，直线OQ的方程为yx，点Q(2，)，kPQ，又kOP.kOP·kPQ1，即OPPQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切15(文)(20xx·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：xy20上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求APQ面积的最小值及此时点A的坐标解析(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得，化简得x24y.(2)解法一：设直线PQ的方程为ykxb，由消去y得x24kx4b0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，且16k216b以点P为切点的切线的斜率为y1x1，其切线方程为yy1x1(xx1)，即yx1xx.同理过点Q的切线的方程为yx2xx.两条切线的交点A(xA，yB)在直线xy20上，解得，即A(2k，b)则：2kb20，即b22k，代入16k216b16k23232k16(k1)216>0，|PQ|x1x2|4，A(2k，b)到直线PQ的距离为d，SAPQ|PD|·d4|k2b|·4(k2b)4(k22k2)4(k1)21.当k1时，SAPQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)解法二：设A(x0，y0)在直线xy20上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x24y上，则以点P为切点的切线的斜率为y1x1，其切线方程为yy1x1(xx1)，即yx1xy1，同理以点Q为切点的方程为yx2xy2.设两条切线均过点A(x0，y0)，则点P，Q的坐标均满足方程y0xx0y，即直线PQ的方程为：yx0xy0，代入抛物线方程x24y消去y可得：x22x0x4y00|PQ|x1x2|A(x0，y0)到直线PQ的距离为d，SAPQ|PQ|d|x4y0|·(x4y0) (x4x08) (x02)24 当x02时，SAPQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)(理)已知点A(2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设P(x，y)，则由直线PA与直线PB斜率之积为得，·(x±2)，整理得曲线C的方程为1(x±2)(2)若|，则.设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN斜率不存在，则y2y1，N(x1，y1)由得·1，又1.解得直线MN方程为x±.原点O到直线MN的距离d.若直线MN斜率存在，设方程为ykxm.由得(4k23)x28kmx4m2120.x1x2，x1·x2.(*)由得·1，整理得(k21)x1x2km(x1x2)m20.代入(*)式解得7m212(k21)此时(4k23)x28kmx4m2120中>0.此时原点O到直线MN的距离d.故原点O到直线MN的距离恒为d.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2y2.