五年高考真题高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理全国通用

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高考数学精品复习资料2019.5第四节第四节双曲线双曲线考点一双曲线的定义及标准方程1(20 xx福建,3)若双曲线E:x29y2161 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|3,则|PF2|等于()A11B9C5D3解析由双曲线定义|PF2|PF1|2a,|PF1|3,P在左支上,a3,|PF2|PF1|6,|PF2|9,故选 B.答案B2(20 xx安徽,4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax2y241B.x24y21C.y24x21Dy2x241解析由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在y轴上,但 D 项渐近线为y12x,只有 C 符合,故选 C.答案C3(20 xx广东,7)已知双曲线C:x2a2y2b21 的离心率e54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24y231B.x216y291C.x29y2161D.x23y241解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为eca54,所以c5,a4,b2c2a29,所以所求双曲线方程为x216y291,故选 B.答案B4(20 xx天津,5)已知双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y2x10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25y2201B.x220y251C.3x2253y21001D.3x21003y2251解析由题意可知,双曲线的其中一条渐近线ybax与直线y2x10 平行,所以ba2且左焦点为(5,0),所以a2b2c225,解得a25,b220,故双曲线方程为x25y2201.选 A.答案A5(20 xx广东,7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C的方程是()A.x24y251B.x24y251C.x22y251D.x22y251解析由曲线C的右焦点为F(3,0),知c3.由离心率e32,知ca32,则a2,故b2c2a2945,所以双曲线C的方程为x24y251.答案B考点二双曲线的几何性质1(20 xx四川,5)过双曲线x2y231 的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|()A.4 33B2 3C6D4 3解析焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x2,渐近线方程为x2y230,将x2代入渐近线方程得y212,y2 3,|AB|2 3(2 3)4 3.选 D.答案D2(20 xx新课标全国,11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为 120,则E的离心率为()A. 5B2C. 3D. 2解析如图,设双曲线E的方程为x2a2y2b21(a0,b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MNx轴于点N(x1,0),ABM为等腰三角形,且ABM120,|BM|AB|2a,MBN60,y1|MN|BM|sinMBN2asin 60 3a,x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1,y1)的坐标代入x2a2y2b21,可得a2b2,ecaa2b2a2 2,选 D.答案D3(20 xx新课标全国,5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22y21 上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若MF1MF20,则y0的取值范围是()A.33,33B.36,36C.2 23,2 23D.2 33,2 33解析由题意知M在双曲线C:x22y21 上,又在x2y23 内部,由x22y21,x2y23,得y33,所以33y033.答案A4 (20 xx广东, 4)若实数k满足 0k9, 则曲线x225y29k1 与曲线x225ky291 的()A离心率相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D焦距相等解析由 0k0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. 3B3C. 3mD3m解析双曲线的方程为x23my231,焦点F到一条渐近线的距离为 3.答案A6(20 xx重庆,8)设F1,F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|94ab,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D3解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2,即 4|PF1|PF2|9b24a2,又 4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即 9ba29ba40,则3ba13ba40,解得ba43ba13舍去,则双曲线的离心率e1ba253.答案B7(20 xx山东,10)已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2y2b21,双曲线C2的方程为x2a2y2b21,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()Ax 2y0B. 2xy0Cx2y0D2xy0解析椭圆C1的离心率为a2b2a,双曲线C2的离心率为a2b2a,所以a2b2aa2b2a32, 所以a4b434a4, 即a44b4, 所以a 2b, 所以双曲线C2的渐近线方程是y12x,即x 2y0.答案A8(20 xx大纲全国,9)已知双曲线C的离心率为 2,焦点为F1、F2,点A在C上若|F1A|2|F2A|,则 cosAF2F1()A.14B.13C.24D.23解析由双曲线的定义知|AF1|AF2|2a, 又|AF1|2|AF2|, |AF1|4a, |AF2|2a.eca2,c2a,|F1F2|4a.cosAF2F1|AF2|2|F1F2|2|AF1|22|AF2|F1F2|(2a)2(4a)2(4a)222a4a14,故选 A.答案A9(20 xx四川,6)抛物线y24x的焦点到双曲线x2y231 的渐近线的距离是()A.12B.32C1D. 3解析由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y 3x,即 3xy0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d| 30|232.答案B10(20 xx湖北,5)已知 04,则双曲线C1:x2cos2y2sin21 与C2:y2sin2x2sin2tan21 的()A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等解析对于双曲线C1:x2cos2y2sin21,a21cos2,b21sin2,c211;对于双曲线C2:y2sin2x2sin2tan21,a22sin2,b22sin2tan2,c22sin2sin2tan2sin2(1tan2)sin2(1sin2cos2)sin2cos2tan2.只有当k4(kZ Z)时,a21a22或b21b22或c21c22,而 00,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|PB|,则该双曲线的离心率是_解析联立直线方程与双曲线渐近线方程ybax可解得交点为am3ba,bm3ba,am3ba,bm3ba,而kAB13,由|PA|PB|,可得AB的中点与点P连线的斜率为3,即bm3babm3ba20am3baam3ba2m3,化简得 4b2a2,所以e52.答案5216(20 xx江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2my2m241 的离心率为 5,则m的值为_解析由双曲线标准方程x2my2m241 知a2m0,b2m24,c2a2b2mm24,由e 5,得c2a25,m0 且mm24m5,m2.答案217(20 xx江西,20)如图,已知双曲线C:x2a2y21(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:x0 xa2y0y1 与直线AF相交于点M,与直线x32相交于点N.证明:当点P在C上移动时,|MF|NF|恒为定值,并求此定值(1)解设F(c,0),因为b1,所以ca21,直线OB的方程为y1ax,直线BF的方程为y1a(xc),解得Bc2,c2a.又直线OA的方程为y1ax,则Ac,ca,kABcac2acc23a.又因为ABOB,所以3a1a1,解得a23,故双曲线C的方程为x23y21.(2)证明由(1)知a 3,则直线l的方程为x0 x3y0y1(y00),即yx0 x33y0.因为直线AF的方程为x2,所以直线l与AF的交点为M2,2x033y0;直线l与直线x32的交点为N32,32x033y0.则|MF|2|NF|2(2x03)2(3y0)21432x032(3y0)2(2x03)29y20494(x02)243(2x03)23y203(x02)2,因为P(x0,y0)是C上一点,则x203y201,代入上式得|MF|2|NF|243(2x03)2x2033(x02)243(2x03)24x2012x0943,所求定值为|MF|NF|232 33.18(20 xx大纲全国,21)已知双曲线C:x2a2y2b21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 3,直线y2 与C的两个交点间的距离为 6.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列(1)解由题设知ca3,即a2b2a29,故b28a2.所以C的方程为 8x2y28a2.将y2 代入上式,求得xa212.由题设知,2a212 6,解得a21.所以a1,b2 2.(2)证明由(1)知,F1(3,0),F2(3,0),C的方程为 8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3),|k|2 2,代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x11,x21,x1x26k2k28,x1x29k28k28.于是|AF1| (x13)2y21 (x13)28x218(3x11),|BF1| (x23)2y22 (x23)28x2283x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21,即x1x223.故6k2k2823,解得k245,从而x1x2199.由于|AF2| (x13)2y21 (x13)28x21813x1,|BF2| (x23)2y22 (x23)28x2283x21,故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4,|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列
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