高考数学文科江苏版1轮复习练习：第8章 平面解析几何 8 第8讲 分层演练直击高考 Word版含解析

高考数学精品复习资料2019.51(20 xx镇江调研)已知点 A(0，2)及椭圆x24y21 上任意一点 P，则 PA 的最大值为_解析 设 P(x0，y0)，则2x02，1y01，所以 PA2x20(y02)2.因为x204y201，所以 PA24(1y20)(y02)23y204y083y0232283.因为1y01，而1230，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为_解析 因为一条渐近线方程是 y 3x，所以ba 3.因为双曲线的一个焦点在 y224x 的准线上，所以 c6.又 c2a2b2，由知，a29，b227，此双曲线方程为x29y2271.答案x29y22714已知圆 C：x2y26x8y210，抛物线 y28x 的准线为 l，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m，则 mPC 的最小值为_解析 由题意得圆 C 的方程为(x3)2(y4)24，圆心 C 的坐标为(3，4)由抛物线定义知，当 mPC 最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即 mPC（32）2（4）2 41.答案415(20 xx南通质量检测)若 F(c，0)是双曲线x2a2y2b21(ab0)的右焦点，过 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率 e_解析 设过第一、 三象限的渐近线的倾斜角为， 则 tan ba， tan 22aba2b2， 因此OAB的面积可以表示为12aatan 2a3ba2b212a27，解得ba34，则 e54.答案546 若直线 ykx 交椭圆x24y21 于 A、 B 两点， 且 AB 10， 则 k 的取值范围为_解析 由ykx，x24y21得 x244k21.不妨设xA24k21，yA2k4k21，xB24k21，yB2k4k21.由两点间距离公式得 AB216（1k2）4k2110，解得 k214.所以 k 的取值范围为12k12.答案12，127 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F， 斜率为43的直线交抛物线于 A， B 两点， 若AFFB(1)，则的值为_解析 根据题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AFFB，得p2x1，y1x2p2，y2，故y1y2，即y1y2.设直线 AB 的方程为 y43xp2 ，联立直线与抛物线方程，消元得y232pyp20.故 y1y232p，y1y2p2，（y1y2）2y1y2y1y2y2y1294，即1294.又1，故4.答案 48(20 xx湖北省华中师大附中月考)已知 F 为抛物线 y22px(p0)的焦点，抛物线的准线与双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的两条渐近线分别交于 A、 B 两点 若AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为_解析 设 AB 与 x 轴交点为 M，由AFB 为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有 MAMBMF， 抛物线的准线方程为 xp2， 把 xp2代入双曲线的渐近线方程 ybax，得 A，B 的纵坐标为bp2a，因此有bp2ap，所以 b2a，c a2b2 5a，因此 eca 5.答案59(20 xx无锡调研)设 F1、F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点 P， 使线段 PF1的中垂线过点 F2， 则该椭圆的离心率的取值范围是_解析 如图，设右准线与 x 轴的交点为 H，则 PF2HF2.又因为 F1F2PF2，所以 F1F2HF2，即 2ca2cc，所以 3c2a2.所以 e213，即 e33.又因为 e1，所以e33，1.答案33，110已知双曲线 C：x24y251 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，若AB5，则满足条件的 l 的条数为_解析 因为 a24，b25，c29，所以 F(3，0)，若 A，B 都在右支上，当 AB 垂直于 x轴时，将 x3 代入x24y251 得 y52，所以 AB5，满足题意；若 A，B 分别在两支上，因为 a2，所以两顶点的距离为 2240，b0)的一条渐近线方程为kxy0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径15，得 k214，即b2a214.又 a2b2( 5)2，则 a24，b21，所以所求双曲线的标准方程为x24y21.答案x24y212已知椭圆方程为x216y2121，若 M 为右准线上一点，A 为椭圆的左顶点，连结 AM交椭圆于点 P，则PMAP的取值范围是_解析 设 P 点横坐标为 x0，则PMAP8x0 x0412x041，因为40)和椭圆x24m2y23m21 的交点为 P.F1、F2为椭圆的左、右焦点，若存在实数 m，使得PF1F2的边长是连续的自然数，则 m_解析 在PF1F2中，PF1最长，PF2最短，F1F22c2m，所 以 F1F2 2m ， PF1 2m 1 ， PF2 2m 1 ， 又 因 为 P 在 C1上 ， 所 以P(m1， 4m（m1）)，将其代入椭圆x24m2y23m21 得 m3.答案 34.已知椭圆x2a2y2b21(abc0， a2b2c2)的左、 右焦点分别为 F1，F2， 若以 F2为圆心， bc 为半径作圆 F2， 过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且 PT 的最小值不小于32(ac)，则椭圆的离心率的取值范围为_解析 依题意切线长 PT PF22（bc）2，所以当且仅当 PF2取得最小值时 PT 取得最小值，而(PF2)minac，所以（ac）2（bc）232(ac)，所以 0c，2bc2，4（a2c2）2c2，5c22ac3a20，所以e212，5e22e30，从而解得35e22，故离心率的取值范围是35e22.答案35eb0)的右焦点为 F2(2， 0)， 点 P1，153在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得 F1MF1N(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解 (1)法一：因为椭圆 C 的右焦点为 F2(2，0)，所以 c2，椭圆 C 的左焦点为 F1(2，0)由椭圆的定义可得 2a（12）21532（12）215329692492 6，解得 a 6，所以 b2a2c2642.所以椭圆 C 的标准方程为x26y221.法二：因为椭圆 C 的右焦点为 F2(2，0)，所以 c2，故 a2b24，又点 P1，153在椭圆 C 上，则1a2159b21，故1b24159b21，化简得 3b44b2200，得 b22，a26，所以椭圆 C 的标准方程为x26y221.(2)假设存在满足条件的直线 l，设直线 l 的方程为 yxt，由x26y221yxt得 x23(xt)260，即 4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2 2t2 2.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x23t2，x1x23t264，由于 F1MF1N，设线段 MN 的中点为 E，则 F1EMN，故 kF1E1kMN1，又 F1(2，0)，Ex1x22，y1y22，即 E3t4，t4 ，所以 kF1Et43t421，解得 t4.当 t4 时，不满足2 2tb0)的离心率为32，直线 l：y12x 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，AB2 10，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的两点，且直线 AC，BD 相交于点 P，直线 AD，BC 相交于点Q.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)求证：直线 PQ 的斜率为定值解 (1)因为 eca32，所以 c234a2，即 a2b234a2，所以 a2b.所以椭圆方程为x24b2y2b21.由题意知点 A 在第二象限，点 B 在第四象限由y12x，x24b2y2b21，得 A 2b，22b.又 AB2 10，所以 OA 10，即 2b212b252b210，得 b2，a4.所以椭圆 E 的标准方程为x216y241.(2)证明：由(1)知，椭圆 E 的方程为x216y241，A(2 2， 2)，B(2 2， 2)当直线 CA，CB，DA，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2，C(x0，y0)，显然 k1k2.从而 k1kCBy0 2x02 2y0 2x02 2y202x20841x2016 2x2082x204x20814，所以 kCB14k1.同理 kDB14k2.所以直线 AD 的方程为 y 2k2(x2 2)，直线 BC 的方程为 y 214k1(x2 2)，由y 214k1（x2 2） ，y 2k2（x2 2） ，解得x2 2（4k1k24k11）4k1k21，y2（4k1k24k21）4k1k21.从而点 Q 的坐标为2 2（4k1k24k11）4k1k21，2（4k1k24k21）4k1k21.用 k2代替 k1，k1代替 k2得点 P 的坐标为2 2（4k1k24k21）4k1k21，2（4k1k24k11）4k1k21.所以 kPQ2（4k1k24k21）4k1k212（4k1k24k11）4k1k212 2（4k1k24k11）4k1k212 2（4k1k24k21）4k1k214 2（k2k1）8 2（k2k1）12.即直线 PQ 的斜率为定值，其定值为12.当直线 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2 2， 2)设 DA 的斜率为 k，由知 kDB14k.因为直线 CA：x2 2，直线 DB：y 214k(x2 2)，得 P2 2， 22k .又直线 BC：y 2，直线 AD：y 2k(x2 2)，得 Q2 22 2k， 2，所以 kPQ12.由可知，直线 PQ 的斜率为定值，其定值为12.