高考数学文科江苏版1轮复习练习：第5章 数列 4 第4讲 分层演练直击高考 Word版含解析

高考数学精品复习资料2019.51等差数列an的通项公式为 an2n1，其前 n 项的和为 Sn，则数列Snn 的前 10 项的和为_解析 因为 a13，Snn（a1an）2n(n2)，所以Snnn2.故S11S22S101075.答案 752数列 a12，ak2k，a1020 共有 10 项，且其和为 240，则 a1aka10的值为_解析 a1aka10240(22k20)240（220）102240110130.答案 1303 已知数列an中 ann1，n 为奇数，n，n 为偶数，则 a1a2a3a4a99a100_.解析 由题意得 a1a2a3a4a99a1000224498981002(24698)100249（298）21005 000.答案 5 0004 已知数列an的前 n 项和 Snan2bn(a、 bR)， 且 S25100， 则 a12a14_解析 由数列an的前 n 项和 Snan2bn(a、bR)，可知数列an是等差数列，由 S25（a1a25）252100，解得 a1a258，所以 a1a25a12a148.答案 85已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，当 n2 时，an2Sn1n，则 S2 017的值为_解析 因为 an2Sn1n，n2，所以 an12Snn1，n1，两式相减得 an1an1，n2.又 a11，所以 S2 017a1(a2a3)(a2 016a2 017)1 009.答案 1 0096已知数列an的通项公式为 anlg12n23n ，n1，2，Sn是数列an的前 n项和，则 Sn_.解析 anlg12n23n lgn23n2n23nlg（n1） （n2）n（n3）lg(n1)lg(n2)lg nlg(n3)，所以 Sna1a2an(lg 2lg 3lg 1lg 4)(lg 3lg 4lg 2lg 5)(lg4lg 5lg 3lg 6)lg(n1)lg(n2)lg nlg(n3)lg(n1)lg 1lg(n3)lg 3lgn1n3lg 3.答案 lgn1n3lg 37已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1的前 100 项和为_解析 设等差数列an公差为 d.因为 a55，S515，所以a14d5，5a15（51）2d15，所以a11，d1，所以 ana1(n1)dn.所以1anan11n（n1）1n1n1， 所以数列1anan1的前 100 项和为 11212131100110111101100101.答案1001018(20 xx南京质检)已知数列an满足 an112 ana2n，且 a112，则该数列的前 2 018项的和等于_解析 因为 a112，又 an112 ana2n，所以 a21，从而 a312，a41，即得 an12，n2k1（kN*） ，1，n2k（kN*） ，故数列的前 2 018 项的和等于 S2 0181 009112 3 0272.答案3 02729对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若 a12，an的“差数列”的通项公式为 an1an2n，则数列an的前 n 项和 Sn_解析 因为 an1an2n，所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n1222n222n.所以 Sn22n1122n12.答案 2n1210(20 xx辽宁省五校协作体联考)在数列an中，a11，an2(1)nan1，记 Sn是数列an的前 n 项和，则 S60_.解析 依题意得，当 n 是奇数时，an2an1，即数列an中的奇数项依次形成首项为1、公差为 1 的等差数列，a1a3a5a59301302921465；当 n 是偶数时，an2an1， 即数列an中的相邻的两个偶数项之和均等于 1， a2a4a6a8a58a60(a2a4)(a6a8)(a58a60)15.因此，该数列的前 60 项和 S6046515480.答案 48011已知等比数列an中，首项 a13，公比 q1，且 3(an2an)10an10(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn13an是首项为 1， 公差为 2 的等差数列， 求数列bn的通项公式和前 n 项和 Sn.解 (1)因为 3(an2an)10an10，所以 3(anq2an)10anq0，即 3q210q30.因为公比 q1，所以 q3.又首项 a13，所以数列an的通项公式为 an3n.(2)因为bn13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 bn13an12(n1)即数列bn的通项公式为 bn2n13n1，前 n 项和 Sn(13323n1)13(2n1)12(3n1)n2.12(20 xx江西省名校学术联盟第一次调研)设数列an满足 a12，a2a514，且对任意 nN*，函数 f(x)an1x2(an2an)x 满足 f(1)0.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1（an1） （an1），记数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：Sn12.解 (1)由 f(x)an1x2(an2an)x，得 f(x)2an1x(an2an)，由 f(1)0，得 2an1an2an，故an为等差数列设等差数列an的公差为 d，由 a12，a2a514，得(a1d)(a14d)14，解得 d2，所以数列an的通项公式为 ana1(n1)d2(n1)22n(nN*)(2)证明：bn1（an1） （an1）1（2n1） （2n1）1212n112n1 ，所以 Sn12113131512n112n112112n1 12.1已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足 bnlog3an，则数列1bnbn1的前 n 项和 Sn_解析 设等比数列an的公比为 q，则a4a1q327，解得 q3.所以 ana1qn133n13n，故 bnlog3ann，所以1bnbn11n（n1）1n1n1.则数列1bnbn1的前 n 项和为 11212131n1n111n1nn1.答案nn12设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则 m_.解析 由 Sm12，Sm0，Sm13，得 amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为 dam1am321，由ama1（m1）d2，Sma1m12m（m1）d0，得a1m12，a1m12m（m1）0，解得a12，m5.答案 53设函数 f(x)xmax 的导函数 f(x)2x1，则数列1f（n） (nN*)的前 n 项和为_解析 因为 f(x)mxm1a，所以 m2，a1.所以 f(x)x2x，f(n)n2n.所以1f（n）1n2n1n（n1）1n1n1，则1f（1）1f（2）1f（3）1f（n1）1f（n）112 1213 1314 1n11n 1n1n1 11n1nn1.答案nn14(20 xx西安模拟)数列an是等差数列，数列bn满足 bnanan1an2(nN*)，设 Sn为bn的前 n 项和若 a1238a50，则当 Sn取得最大值时 n 的值为_解析 设an的公差为 d，由 a1238a50 得a1765d，d0，所以 ann815 d，从而可知当 1n16 时，an0；当 n17 时，an0.从而 b1b2b140b17b18，b15a15a16a170，b16a16a17a180，故 S14S13S1，S14S15，S15S16，S16S17S18.因为 a1565d0，a1895d0，所以 a15a1865d95d35d0，所以 b15b16a16a17(a15a18)0，所以 S16S14，故当 Sn取得最大值时 n16.答案 165(20 xx南京四校第一学期联考)已知向量 a(x，1)，b(xy，xy)，若 ab，yf(x)(1)求 f(x)的表达式；(2)已知各项都为正数的数列an满足 a113，a2n12anf(an)(nN*)，求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设 bn1a2n1，Sn为数列bn的前 n 项和，求使 Sn1278成立的 n 的最小值解：(1)由 ab，得 x2y(1)(xy)0，所以 yxx21，则 f(x)的表达式为 f(x)xx21.(2)由(1)知 f(x)xx21，所以 a2n12anf(an)2anana2n12a2na2n1，因此1a2n1a2n12a2n12a2n12，所以1a2n1112a2n12121a2n1.又1a2119180，所以数列1a2n1是以 8 为首项，12为公比的等比数列，则1a2n1812n124n.又 an0，所以 an124n1，则数列an的通项公式为 an124n1.(3)由(2)知数列1a2n1是以 8 为首项，12为公比的等比数列，而 bn1a2n1，所以数列bn是以 8 为首项，12为公比的等比数列，因此数列bn的前 n 项和 Sn8 112n11216112n.又 Sn1278，所以 16112n1278，则12n1128，所以 n7.所以正整数 n 的最小值为 8.6(20 xx江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)定义：nP1P2Pn为 n 个正数 P1，P2，P3，Pn(nN*)的“均倒数”已知等比数列an的公比为 2，前 n 项和为 Sn，若 S32 是 S2和 S4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的前 n 项的“均倒数”为12an1(nN*)令 cnbnan1a2n1(nN*)，记数列cn的前 n 项和为 Tn，若对任意正整数 n，都有 Tna，b，求 ba 的最小值解 (1)因为 S32 是 S2和 S4的等差中项，所以 2S34S2S4，所以 a34a4，又等比数列an的公比为 2，所以 a34，所以 a11，所以数列an的通项公式为 an2n1.(2)由题意知，nb1b2bn12n1，所以 b1b2bnn(2n1)，所以 b1b2bn1(n1)(2n11)(n2)，得，bn(n1)2n11(n2)又 b11 也满足该式，所以 bn(n1)2n11(nN*)，因为 an2n1，bn(n1)2n11，所以 cnbnan1a2n1n2n1n12n1，所以 Tn12123122n12n1，12Tn1122122(n1)12n1n12n两式相减得12Tn11212212n1n12n112n112n12n22n2n，所以 Tn42n2n10，所以 Tn单调递增，所以(Tn)minT11，故有 1Tn4.因为对任意正整数 n，都有 Tna，b，所以 a1，b4，即 a 的最大值为 1，b 的最小值为 4，故(ba)min413.