专题58 三角恒等变化与平面向量结合问题(解析版)

专题58 三角恒等变化与平面向量结合问题一、单选题1已知将向量绕起点逆时针旋转得到向量，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先求出与轴正方向的夹角为，即可得与轴正方向的夹角为，再利用向量坐标的定义即可求解.【详解】设的起点是坐标原点，与轴正方向的夹角为， 由可得，所有，设与轴正方向的夹角为，则且因为，故，故选：C.2已知向量，其中，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据数量积的坐标运算和辅助角公式可求得，利用正弦型函数值域的求解方法可求得结果.【详解】，.故选：A.【点睛】方法点睛：求解正弦型函数值域的步骤如下：（1）利用的范围求得整体的范围；（2）将看作一个整体，对应正弦函数图象求得的值域；（3）代入函数，得到所求函数的值域.3定义运算，若，则平面区域的面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】先证明两个恒等式和成立，再利用已知条件计算得到的取值范围，进而得到的限定，最后利用线性规划作图计算面积即可.【详解】因为，其中， ，故，所以.又易证，即.依题意， ，则，故或，因为，所以，再根据余弦函数特征得 或利用线性规划作图如下，知式无解，由图计算面积得.故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换的综合应用、三角函数和线性规划问题，属于难题.4已知为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，则的最小值为（ ）A4B3C2D1【答案】D【分析】设出的坐标，利用距离公式转化求解的表达式，利用三角函数的最值求解的最小值.【详解】解：由题意：椭圆，设，是椭圆的两个焦点，.，当且仅当时，取等号.即的最小值为1.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力.属中档题，5已知向量，则函数在上的所有零点之和为（ ）ABCD【答案】A【分析】应用向量数量积的坐标表示，结合两角和差公式化简函数式，在上求所得函数的零点，进而求零点之和.【详解】，令，则，则有，或，解得或.故选：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示及运算，应用三角恒等变换以及三角函数的性质求零点之和.6已知向量，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，再结合，即可得解.【详解】，将函数的图象向左平移个单位，得到，该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，又，.故选：D.【点睛】本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题.7已知向量，设函数，下列关于函数的描述正确的是（ ）A关于直线对称B关于点对称C相邻两条对称轴之间的距离为D在上是增函数【答案】C【分析】利用平面向量的数量积的运算和三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定求解.【详解】因为向量，所以，故A错误；，故B错误；因为，所以，故C正确；，故D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质的应用，还考查了推理与运算能力，属于中档题.二、解答题8设，其中.（1）求的最值及取最值时对应的x值.（2）当时，求x的值.【答案】（1）当时，函数取得最大值为1，当时，函数取得最小值为；（2）.【分析】（1）根据，利用数量积运算和二倍角公式以及辅助角法，将函数化简为，然后利用正弦函数的性质求解.（2）由得到，则，然后由求解【详解】（1），.，当时，即时，函数取得最大值为1，当时，即时，函数取得最小值为.（2）当时，所以，即时，即当时，x的值为.9如图所示，、分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，点坐标为，平行四边形的面积为.（1）求的最大值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由三角函数的定义得出点，计算出点的坐标，利用三角恒等变换思想结合平面向量数量积的坐标运算以及平行四边形的面积公式可得出关于的表达式，利用正弦函数的有界性可得出的最大值；（2）由以及同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，结合可求得、的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角差的正弦公式可求得的值.【详解】（1）由已知，得、，因为四边形是平行四边形，所以.所以.又平行四边形的面积为，所以.又，则，所以当时，的最大值为；（2）由题意，知，因为，得，又，结合得，所以.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.10设向量，（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，结合已知条件，即可求出的值；（2）先利用平面向量的数量积公式，二倍角公式以及辅助角公式得到，利用的范围即可求出的最大值【详解】（1）由，及，得，又，从而，所以（2），当时，当时，即时，取最大值，所以的最大值为11已知平面向量，设函数.（）求函数的最小正周期；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【分析】（）先利用平面向量的数量积公式代入，再利用三角恒等变换化简整理，最后利用周期求法求解即可；（）利用整体代入的思想求出，再求出函数的范围，结合已知条件列出不等式即可得出结论.【详解】（）因为，所以，所以，所以的最小正周期为；（）因为，所以，所以，由不等式恒成立，得，解得，故所求实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：先运用平面向量的数量积公式代入求解，再利用两角和与差的正弦公式以及二倍角公式化简整理，再利用周期公式，和整体代入思想求解值域，解不等式即可.12向量，函数（1）求函数的最小值，并求出取最小值时x的值；（2）先将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数 的图像，求的单减区间【答案】（1），此时，；（2），.【分析】（1）利用向量数量积公式，再利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再求函数的最小值及其的值；（2）利用图象变换规律，求函数的解析式，再求函数的单减区间.【详解】（1） ，函数的最小值是-2，当，解得：，；（2）函数向左平移个单位后得到，再将横坐标缩短为原来的后得到函数，令，解得：，所以函数的单调递减区间是，.【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.13已知向量，设函数.（1）求函数取得最大值时取值的集合； （2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函数公式和平面向量数量积对函数简化，再根据三角函数的性质求得函数取得最大值时取值的集合；（2）根据已知条件求得的B，C大小，然后利用展开即可求解.【详解】（1），要使函数取得最大值，需要满足取得最小值，所以，所以，所以当取得最大值时取值的集合为，（2）因为A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，所以，由，得，因为所以，解得，所以所以.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记两角和差的正弦余弦公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系，向量的数量积的坐标表示，注意三角形是锐角三角形以确定角的范围.14已知函数，其中，.（1）求的单调减区间.（2）在中，求的面积.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）代入数量积公式，计算，化简可得，然后利用整体法列不等式求解的递减区间即可；（2）化简，可得，然后利用，计算得，代入三角形面积公式即可得.【详解】（1）因为，所以，由，解得：，.故的单调减区间为：，.（2）因为在中，所以，由，即，因为，所以，即，所以，故中的面积为.【点睛】三角函数解析式的化简运算需要注意，首先是利用诱导公式或者和差公式将解析式化简为同角，接着利用降幂公式进行降次处理，然后利用辅助角公式进行合一，即可得最终三角函数的形式.15已知向量，且.（1）求及；（2）求函数的最值以及对应的值.【答案】（1）；（2）时，最小值为；当或时，最大值为.【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式求解，再利用和差角公式化简即可，利用求解；（2）根据（1）的结果，列出的解析式，结合二次函数的性质求解最值.【详解】解：（1），.（2），.当，即时，取最小值为；当或1，即或时，取最大值为.【点睛】本题以向量为载体，考查三角恒等变换、三角函数的综合应用题目，一般解答的思路为：通过向量的坐标运算构建出三角函数的表达式，然后运用和差角公式、二倍角公式对表达式进行化简，通常将解析式整理成的形式，结合三角函数的图象性质分析处理相关问题，当解析式为同名三角函数的二次三项式时，也可换元转化为二次函数处理.16已知向量，.（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.【答案】（1）最大值为，；（2）.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角变换公式化简得，根据正弦函数的最值可得结果；（2）根据求出，根据余弦定理得到，从而可求出面积的最大值.【详解】（1），的最大值为，此时，即，；（2），当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最大值.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是正确求出的解析式，根据平面向量数量积的坐标表示以及三角变换公式可得的解析式，第（2）问的关键是得到的最大值，根据余弦定理和不等式知识可得.17在平面直角坐标系中，已知向量而（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得，即可得解；（2）由平面向量夹角的坐标表示及三角恒等变换可得，再结合三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1），由可得；（2）由题意，.18已知向量，函数，.（1）当时，求的值；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可；（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.【详解】解：（1），当时，则；（2），则，令，则，则，对称轴， 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)， 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得， 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，综上若的最小值为，则实数；（3）令，得或，方程或在上有四个不同的实根，则，得，则，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.19已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为.（1）若方程恰好在有两个不同实根，求实数的取值范围.（2）设函数，且，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】首先利用向量数量积的坐标运算以及二倍角正弦、余弦公式，求出，再根据周期可得.（1）根据三角函数的单调性求出函数在区间上的最值，由即可求解. （2）首先求得，分类讨论，当时或当时，利用函数的单调性求出的最值，根据集合相等列方程组即可求解.【详解】解：依题.又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：，；（1）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当，解得，当，解得，当，解得，所以在上递增，在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，且，所以；（2）由（1）可得，当时：在上递增，满足：，此时无解，当时：在上递减，满足：，解得：，综上所述：.【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换以及向量数量积的坐标表示，考查了基本知识，属于基础题.20已知向量，函数，若其图像关于直线对称.（1）求函数的最小正周期及实数的值.（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由以及辅助角公式，可得，再由对称轴求出，从而得和；（2）由得角度范围，从而求出值域.【详解】（1）（其中），因为图像关于直线对称.（2）由（1）知由得21设平面向量，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若角满足，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简，再利用求最小正周期；（2）由题及（1）可得，再利用二倍角公式求即可.【详解】(1)函数的最小正周期为（2）22已知向量，函数.（1）求函数的最大值，并指出取最大值时的取值集合；（2）若，为锐角，求的值.【答案】（1）最大值为2，的取值集合为；（2）.【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由（1）得，再根据题意，结合同角三角函数关系得，进而得，故.【详解】解（1），令，得，所以最大值为2，此时的取值集合为（2）由，为锐角，得，由得，又，.【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关键点在于，得，进而得，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中档题.23已知，.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，求的值.【答案】（1）和；（2）.【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，即可得解；（2）由三角函数图象的平移可得，进而可得，即可得解.【详解】解：（1）已知，所以；令，解得，所以函数的单调增区间为，所以函数在上的单调递增区间为和；（2）将的图象向右平移个单位后得：，已知，所以，又，所以，所以，即，所以.【点睛】本题考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象及性质，解答时正、余弦的二倍角公式的运用、整体法的运用是关键24已知平面向量，.（1）若，求实数的值；（2）求函数的单调递减区间.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由向量共线的坐标表示得到，再利用两角差的正弦公式得到，从而求出；（2）首先根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式求出，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以.又因为，所以.（2）.令，所以.所以所求的单调递减区间为.【点睛】本题考查三角恒等变换公式的应用，向量平行的坐标表示，以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.25已知向量，且的图像过点和点.（1）求，的值及的最小正周期；（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在时的值域和单调递减区间.【答案】（1）；最小正周期为；（2）值域为；单调递减区间为.【分析】（1）根据数量积运算先表示出，然后通过所过点的坐标求解出的值，并利用三角恒等变换的公式将化简，从而求解出最小正周期；（2）先根据图象平移得到，再利用整体替换的方法求解出在时的值域和单调递减区间.【详解】（1）.把和代入上式，得：.的最小正周期为.（2）由已知得.当时，所以，此时，所以，此时，所以的值域为.令，所以，当时，且，所以的单调递减区间为.【点睛】本题考查三角函数图象与性质以及三角恒等变换的综合应用，其中还涉及到坐标形式下向量的数量积运算，对学生的化简与计算能力要求较高，难度一般.26已知向量，（，）.函数，的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点.（1）求图像的对称点坐标；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意可得，由于的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，可得周期为4，从而可求出，再将点代入函数中可求出的值，进而可得函数的解析式，从而可求出对称点的坐标；（2）利用函数的周期为4进行求解【详解】解：（1）由题意知：周期，.又图象过点M，即，.对称点坐标为，.（2）的周期，原式.【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查三角函数的图像和性质的应用，考查计算能力，属于中档题27已知向量，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调增区间；（3）若函数，其中，试讨论函数的零点个数.【答案】（1）最小正周期为；（2）函数的单调增区间为：()；（3）答案见解析.【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期.（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可.（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.【详解】（1）函数，.，所以函数的最小正周期为：.（2）因为函数，由，解得，所以函数的单调增区间为：().（3），因为，所以，令，得，则函数的零点个数等价于与的交点个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：由图象可知：当或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或时，函数有一个零点；【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.28已知向量，其中，又函数的图象任意两相邻对称轴间距为. （1）求的值:（2）设是第一象限角，且，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）首先根据题意得到，再根据函数的周期即可得到的值.（2）根据得到，再化简即可得到答案.【详解】（1）由题意得，所以.因为函数的图象任意两相邻对称轴间距为. 所以函数的最小正周期为，又，所以.（2）由（1）知，所以.解得，因为是第一象限角，故，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了函数的周期和三角函数的诱导公式，属于中档题.29请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.，为虚数单位，的面积为在中，内角，所对的边分别为，已知，_.（1）求；（2）求的值.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）通过方案，都是求出的值，进一步利用余弦定理求出答案;（2）根据（1）求出，利用正弦和差公式化简，从而求出答案.【详解】方案一：选择条件：（1），；由，解得或（舍去），.（2），.方案二：选择条件：（1）由，解得或（舍去），.（2）同方案一方案三：选择条件：（1），又，由，解得或（舍），.（2）同方案一注意：方案二、方案三评分标准参照方案一.【点睛】本题考查三角函数的余弦定理和三角形的面积，涉及到向量的数量积和复数的模，属于基础题型.30已知向量.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若f(A)=1，求ABC的周长.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f(x)=sin(2x)，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin(2A)，结合范围0A，可求A的值，由正弦定理利用sinB=3sinC，可得b=3c，根据余弦定理可求c的值，进而可求b的值，从而可求三角形的周长.【详解】（1）因为(sinx，cosx)，( cosx，cosx)，f(x)sinxcosx+cos2xsin2xcos2xsin(2x)，由2k2x2k，kZ，可得：kxk，kZ，可得f(x)的单调递增区间是：k，k，kZ，（2）由题意可得：sin(2A)，又0A，所以 2A，所以2A，解得A，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c22bccosA，所以a=BC，又sinB=3sinC，可得b=3c，故7=9c2+c23c2，解得c=1，所以b=3，可得ABC的周长为4.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.31已知向量，设.（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）已知为锐角，求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先根据向量运算及三角变换化简，然后根据解析式求解最小正周期和对称轴方程；（2）由可得，根据平方关系求出，结合差角公式可求的值.【详解】（1）由题意得.因此函数的最小正周期.令，则，即函数的对称轴方程为.（2），.，.，.又，.【点睛】本题主要考查三角函数的图象性质及恒等变换，三角函数的性质求解通常把函数化为最简形式，给值求值问题优先观察已知角和所求角间的联系，然后根据相关公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.