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高考数学精品复习资料 2019.5第六章数列学案28数列的概念与简单表示法导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数自主梳理1数列的定义按_着的一列数叫数列，数列中的_都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是_的函数，数列的一般形式为：_，简记为an，其中an是数列的第_项2通项公式：如果数列an的_与_之间的关系可以_来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的3数列常用表示法有：_、_、_.4数列的分类：数列按项数来分，分为_、_；按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1_an；递减数列an1_an；常数列an1_an.5an与Sn的关系：已知Sn，则an自我检测1(20xx·汕头月考)设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大 ()A10B11C10或11D122已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于 ()A165B33C30D213(20xx·龙岩月考)已知数列1，按此规律，则这个数列的通项公式是()Aan(1)n·Ban(1)n·Can(1)n·Dan(1)n·4下列对数列的理解：数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是唯一的其中说法正确的序号是 ()ABCD5(20xx·湖南长郡中学月考)在数列an中，若a11，a2， (nN*)，则该数列的通项an_.探究点一由数列前几项求数列通项例1写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)，；(2)，2，8，.变式迁移1写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)，2，8，；(3)，2，；(4)1,0,1,0，.探究点二由递推公式求数列的通项例2根据下列条件，写出该数列的通项公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1 (n2)变式迁移2根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2；(2)a11，an1(n1)an；(3)a12，an1anln.探究点三由an与Sn的关系求an例3已知数列an的前n项和Sn2n23n1，求an的通项公式变式迁移3(20xx·杭州月考)(1)已知an的前n项和Sn3nb，求an的通项公式(2)已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2an1，求an.函数思想的应用例(12分)已知数列an的通项an(n1)n (nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由【答题模板】解方法一令4分，n9或n10时，an最大，10分即数列an有最大项，此时n9或n10.12分方法二an1an(n2)·n1(n1)·nn·，2分当n<9时，an1an>0，即an1>an；当n9时，an1an0，即an1an；当n>9时，an1an<0，即an1<an.8分故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，10分数列an中有最大项，为第9、10项12分【突破思维障碍】有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法求最大项时也可用an满足；若求最小项，则用an满足.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值【易错点剖析】本题解题过程中易出现只解出a9这一项，而忽视了a9a10，从而导致漏解1数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项an与项数n的关系2求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列an的前n项和Sn与数列an的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘3本节易错点是利用Sn求an时，忘记讨论n1的情况(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx·安徽)设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为 ()A15B16C49D642已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是 ()A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a2等于 ()A4B2C1D24(20xx·烟台模拟)数列an中，若an1，a11，则a6等于 ()A13B.C11D.5数列an满足anan1 (nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为 ()A5B.C.D.题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6数列an满足an1若a1，则a2 010的值为_7已知Sn是数列an的前n项和，且有Snn21，则数列an的通项an_.8(20xx·安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n (n3)行从左至右的第3个数是_三、解答题(共38分)9(12分)写出下列各数列的一个通项公式(1)1，2，3，4，；(2)1，.10(12分)由下列数列an递推公式求数列an的通项公式：(1)a11，anan1n (n2)；(2)a11， (n2)；(3)a11，an2an11 (n2)11(14分)(2009·安徽)已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设cna·bn，证明：当且仅当n3时，cn1<cn.答案 自主梳理1一定顺序排列每一个数定义域为N*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n2.第n项n用一个公式3.解析法(通项公式或递推公式)列表法图象法4.有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列 ><5.S1SnSn1自我检测1C2.C3.C4.C5.课堂活动区例1解题导引(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明解(1)原数列为，an.(2)原数列为，an.变式迁移1解(1)a13211，a25221，a39231，an2n1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得，观察知，各项的分子是对应项数的平方，数列通项公式是an.(3)将数列各项统一成的形式得，；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，所以数列的通项公式是an.(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，和1，1,1，1，对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示所以an或an (nN*)，或an或ansin2 (nN*)，或an (nN*)例2解题导引利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列an的相邻两项an1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n1个式子相加，整理求出数列的通项公式(2)累积法：如果已知数列an的相邻两项an1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n1个式子相乘，整理求出数列的通项公式(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解解(1)当n1,2,3，n1时，可得n1个等式，anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得ana1123(n1)ana12.(2)方法一an·····a1n1·n2··2·112(n1)，an.方法二由2n1anan1，得ann1an1.ann1an1n1·n2an2n1·n2··1a1(n1)(n2)21变式迁移2解(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·3n11.(2)an1(n1)an，n1.n，n1，3，2，a11.累乘可得，ann×(n1)×(n2)××3×2×1n！.故ann！.(3)an1anln，an1anlnln .anan1ln ，an1an2ln ，a2a1ln ，累加可得，ana1ln ln ln ln nln(n1)ln(n1)ln(n2)ln 2ln 1ln n.又a12，anln n2.例3解题导引an与Sn的关系式anSnSn1的条件是n2，求an时切勿漏掉n1，即a1S1的情况一般地，当a1S1适合anSnSn1时，则需统一“合写”当a1S1不适合anSnSn1时，则通项公式应分段表示，即an解当n1时，a1S12×123×110；当n2时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1时，an4×151a1，an变式迁移3解(1)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.当b1时，a1适合此等式；当b1时，a1不适合此等式当b1时，an2·3n1；当b1时，an.(2)由2an1，得Sn2，当n1时，a1S12，得a11；当n2时，anSnSn122，整理，得(anan1)(anan12)0，数列an各项为正，anan1>0.anan120.数列an是首项为1，公差为2的等差数列ana1(n1)×22n1.课后练习区1A2.A3.A4.D5.B6.7.8.9解(1)a11，a22，a33，ann(nN*)(6分)(2)a1，a2，a3，a4，an(1)n·(nN*)(12分)10解(1)由题意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.将上述各式等号两边累加得，ana1n(n1)32，即ann(n1)321，故an.(4分)(2)由题意得，.将上述各式累乘得，故an.(8分)(3)由an2an11，得an12(an11)，又a1120，所以2，即数列an1是以2为首项，以2为公比的等比数列所以an12n，即an2n1.(12分)11(1)解a1S14.(1分)对于n2有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1也适合，an的通项公式an4n.(3分)将n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11.(4分)(求bn方法一)对于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n.(6分)(求bn方法二)对于n2，由Tn2bn得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n，Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.b11也适合(6分)综上，bn的通项公式bn21n.(8分)(2)证明方法一由cna·bnn225n，(10分)得2.(12分)当且仅当n3时，1<，<·()21，又cnn2·25n>0，即cn1<cn.(14分)方法二由cna·bnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22(13分)当且仅当n3时，cn1cn <0，即cn1< cn.(14分)
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