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高考数学精品复习资料 2019.5第七章不等式、推理与证明学案33不等式的概念与性质导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题自主梳理1不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在不等关系可分为常量与_间的不等关系(如3>0)，变量与_间的不等关系(如x>5)，函数与_之间的不等关系(如x212x)等2不等式用_(如“<”“>”“”“”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“”“”连接的不等式叫做非严格不等式不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)3两个实数大小的比较(1)作差法：设a，bR，则a>bab>0，a<bab<0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据(2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b_，a<b<1.4不等式的性质(1)对称性：a>b_；(2)传递性：a>b，b>c_；(3)加法性质：a>b_；推论：a>b，c>d_；(4)乘法性质：a>b，c>0_；推论：a>b>0，c>d>0_；(5)乘方性质：a>b>0_；(6)开方性质：a>b>0_；(7)倒数性质：a>b，ab>0_.自我检测1(20xx·大纲全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()Aa>b1 Ba>b1Ca2>b2 Da3>b32若a，b是任意实数，且a>b，则()Aa2>b2 B.<1Clg(ab)>0 D.a<b3(20xx·青岛模拟)设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A2Bln(ab1)>0Ca2b222a2bDa3b32ab24(20xx·上海)若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2ab Bab2C.> D.25(20xx·安徽)若a>0，b>0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.探究点一数与式的大小比较例1(1)设x<y<0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小；(2)已知a，b，c正实数，且a2b2c2，当nN，n>2时，比较cn与anbn的大小变式迁移1已知a>2，b>2，试比较ab与ab的大小探究点二不等式性质的简单应用例2下面的推理过程ac>bd>，其中错误之处的个数是()A0B1C2D3变式迁移2(20xx·许昌月考)若a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A.> B.>C|a|>|b| Da2>b2探究点三求字母或代数式范围问题例3(1)已知12<a<60,15<b<36，求ab及的取值范围(2)设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1) 4，求f(2)的取值范围变式迁移3(1)已知，0，则2的范围为_(2)(20xx·辽宁)已知1<xy<4且2<xy<3，则z2x3y的取值范围为_(答案用区间表示)1数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键2由M1<f1(a，b)<N1和M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大这时可以用所谓的“线性相关值”，令g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx·开封调研)已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()Aab>ac Bc(ba)<0Ccb2<ab2 Dac(ac)>02若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()A> Ba>bCa>b D.>3(20xx·金华模拟)已知a>b，则下列不等式一定成立的是()Alg a>lg b Ba2>b2C.< D2a>2b4(20xx·舟山七校联考)若a<b<0，则下列结论中正确的是()A.>和>均不能成立B.>和>均不能成立C不等式>和2>2均不能成立D不等式>和2<2均不能成立5已知三个不等式：ab>0，bcad>0，>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3二、填空题(每小题4分，共12分)6若x>y>1，且0<a<1，则ax<ay；logax>logay；xa>ya；logxa<logya.其中不成立的个数是_7(20xx·东莞月考)当a>0>b，c<d<0时，给出以下三个结论：ad<bc；ac2>bd2；bc>dc.其中正确命题的序号是_8已知<，则的取值范围是_；的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)(20xx·阳江月考)已知ab>0，试比较与.10(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小11(14分)已知a>0，a22abc20，bc>a2.试比较a，b，c的大小学案33不等式的概念与性质自主梳理1常量常量函数2.不等号3.(2)>14.(1)b<a(2)a>c(3)ac>bcac>bd(4)ac>bcac>bd(5)an>bn (nN且n2)(6)> (nN且n2)(7)<自我检测1A2.D3.D4.D5课堂活动区例1解题导引比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差变形判断差的符号作商法的步骤：作商变形判断商与1的大小(2)两种方法的关键是变形常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的解(1)方法一(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，x<y<0，xy>0，xy<0.2xy(xy)>0.(x2y2)(xy)>(x2y2)(xy)方法二x<y<0，xy<0，x2>y2，xy<0.(x2y2)(xy)<0，(x2y2)(xy)<0.0<<1.(x2y2)(xy)>(x2y2)(xy)(2)a，b，c正实数，an，bn，cn>0.而nn.a2b2c2，则221，0<<1,0<<1.nN，n>2，n<2，n<2.nn<1.anbn<cn.变式迁移1解方法一(作差法)ab(ab)(a1)(b1)1，a>2，b>2，a1>1，b1>1.(a1)(b1)1>0.ab(ab)>0.ab>ab.方法二(作商法)，且a>2，b>2，<，<.<1.<1.又ab>4>0，ab<ab.例2D由a>bac>bc，c>dbc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd是正确的，由ac>bd>是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的变式迁移2Ba<b<0，ab>0.取倒数，则有>，选项A正确a<b<0，|a|>|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确对于B，又a<b<0，ab<0.<0，即<.选项B不成立例3解题导引第(2)题中，由于f(x)ax2bx，所以f(2)、f(1)和f(1)都是关于a，b的代数式，由于已知f(1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(2)，通过等式两边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(1)、f(1)的范围求出f(2)的范围本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为求的是z4a2b的范围解(1)15<b<36，36<b<15.1236<ab<6015，即24<ab<45.又<<，<<.<<4.(2)方法一由，得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二设f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，解得f(2)3f(1)f(1)，1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，f(2)的取值范围是5,10变式迁移3(1)，(2)(3,8)解析(1)由2，由00，两不等式相加得：2.所以2的范围为.(2)设2x3y(xy)(xy)()x()y，对应系数相等，则从而2x3y(xy)(xy)(3,8)课后练习区1A由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误由b>cab>ac，b可能为0，故A正确c(ba)>0，故B错误ac(ac)<0，故D错误2Ca>b>0，ab>0，>.a>b.故选C.3D只有指数函数y2x在R上为增函数，所以D正确而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误4Da<b<0，ab<0.，2ba的正负不确定，即>有可能成立；又a<b<0，|a|>|b|>0，则有<，即>不成立5D由ab>0，bcad>0，即bc>ad，得>，即>0；由ab>0，>0，即>，得bc>ad，即bcad>0；由bcad>0，>0，即>0，得ab>0；故可组成3个正确的命题63解析x>y>1,0<a<1，ax<ay，logax<logay，故成立，不成立xa>ya>0，xa<ya，不成立又logax<logay<0，>.即logxa>logya，也不成立7解析ad<0，bc>0，ad<bc，故正确；又c<d<0，c2>d2>0.由已知a>b，同向不等式相加得ac2>bd2，故正确；对于结论，dc>0，bc的正、负不确定，故不正确8.解析<，<，<<，<<.<，<，<.又<0，<0.9解(ab).(6分)ab>0，(ab)20，0.(12分)10解aabbbaab，(4分)当a>b>0时，>1，ab>0，ab>1；(8分)当0<a<b时，<1，ab<0，ab>1.(11分)综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.(12分)11解bc>a2>0，b，c同号(2分)又a2c2>0，a>0，b>0.c>0.(4分)由(ac)22ab2ac2a(bc)0，bc0.(6分)当bc>0，即b>c时，由·c>a2(ac)(2a2acc2)<0.a>0，b>0，c>0，2a2acc2>0.ac<0，即a<c，则a<c<b.(10分)当bc0，即bc时，bc>a2，b2>a2，即ba.又a22abc2(ab)20ab与ab矛盾，bc0.综上，可知a<c<b.(14分)
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