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高考数学精品复习资料 2019.5 第二节第二节 参数方程参数方程 考纲传真 (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程 (对应学生用书第 201 页) 基础知识填充 1曲线的参数方程 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数 xf(t)，yg(t)，并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数 相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0 叫作曲线的普通方程 (2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程 2常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t为参数) 圆 x2y2r2 xrcos ，yrsin (为参数) 椭圆 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin (为参数) 知识拓展 在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为 1 时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)参数方程 xf(t)，yg(t)中的x，y都是参数t的函数( ) (2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 xx0tcos ，yy0tsin (t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量( ) (3)方程 x2cos ，y12sin 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆( ) (4)已知椭圆的参数方程 x2cos t，y4sin t(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t3，点O为原点，则直线OM的斜率为 3.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)曲线 x1cos ，y2sin (为参数)的对称中心( ) A在直线y2x上 B在直线y2x上 C在直线yx1 上 D在直线yx1 上 B B 由 x1cos ，y2sin ，得 cos x1，sin y2， 所以(x1)2(y2)21. 曲线是以(1,2)为圆心，1 为半径的圆， 所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上 3(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C： x222t，y122t(t为参数)的普通方程为_ xy10 由x222t，且y122t， 消去t，得xy1，即xy10. 4 椭圆C的参数方程为 x5cos ，y3sin (为参数)， 过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min_. 185 由 x5cos ，y3sin (为参数)，消去参数得x225y291， 当ABx轴时，|AB|有最小值 所以|AB|min295185. 5 (20 xx江苏高考)在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程为 x8t，yt2(t为参数)，曲线C的参数方程为 x2s2，y2 2s(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值 解 直线l的普通方程为x2y80. 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2 2s)， 从而点P到直线l的距离 d|2s24 2s8|12(2)22(s 2)245. 当s 2时，dmin4 55. 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值4 55. (对应学生用书第 202 页) 参数方程与普通方程的互化 (1)求直线 x2t，y1t(t为参数)与曲线 x3cos ，y3sin (为参数)的交点个数 (2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l： xt，yta(t为参数)过椭圆C： x3cos ，y2sin (为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：79140389】 解 (1)将 x2t，y1t消去参数t得直线xy10； 将 x3cos ，y3sin 消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10 的距离d220，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程cos332. (1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值； (2)A，B为曲线C上的两点，且AOB3，求OAB的面积最大值 解 (1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆， 直线l的直角坐标方程为x 3y30. 由直线l与圆C只有一个公共点，则可得|a3|2a， 解得a3(舍)，a1. 所以a1. (2)法一：曲线C的极坐标方程为2acos (a0)， 设A的极角为，B的极角为3， 则SOAB12|OA|OB|sin3 34|2acos |2acos3 3a2cos cos3， cos cos312cos232sin cos 12cos 21234sin 2 1212cos 232sin 214 12cos2314， 所以当6时，12cos2314取得最大值34. OAB的面积最大值为3 3a24. 法二：因为曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且AOB3， 由正弦定理得|AB|sin32a，所以|AB| 3a. 由余弦定理得|AB|23a2 |OA|2|OB|2|OA|OB| |OA|OB|， 所以SOAB12|OA|OB|sin3 123a2323 3a24， 所以OAB的面积最大值为3 3a24. 规律方法 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 跟踪训练 (20 xx太原模拟(二)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x2cos ，ysin (其中为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是(tan cos sin )1(是常数，0，且2)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点 (1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标. 【导学号：79140390】 解 (1) x2cos ，ysin ，x24y21， 由 xcos ，ysin 得曲线C2的直角坐标方程为ytan x1. (2)由(1)得曲线C2的参数方程为 xtcos ，y1tsin (t是参数)， 设A(t1cos ，1t1sin )，B(t2cos ，1t2sin )， 将C2： xtcos ，y1tsin ，代入x24y21， 整理得t2(13sin2)8tsin 0， t10，t28sin 13sin2， |AB|t1t2|8|sin |13sin2 83|sin |1|sin |82 3 4 33(当且仅当 sin 33取等号)， 当 sin 33时，0，且2， cos 63， B423，13， |AB|的最大值为4 33， 此时点B的坐标为4 23，13.
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