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高考数学精品复习资料 2019.5第六节抛物线考纲传真(教师用书独具)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用(对应学生用书第141页)基础知识填充1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0知识拓展已知y22px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为，如图861，则图861(1)|AB|x1x2p；(2)x1x2，y1y2p2；(3)；(4)SAOB；(5)|CD|2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.3(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()ABCD0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.4顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_x28y设抛物线的方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得m8，所以抛物线方程是x28y.5(20xx浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9设点M的横坐标为x，则点M到准线x1的距离为x1，由抛物线的定义知x110，x9，点M到y轴的距离为9.(对应学生用书第142页)抛物线的定义及应用(1)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4 ，则|QF|()ABC3D2(2)(20xx全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.(1)C(2)6(1)4 ，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|QQ|3.根据抛物线定义可知|QF|QQ|3.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.跟踪训练(1)(20xx广东汕头调研)已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3B4C5 D1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. 【导学号：79140289】(1)A(2)y24x(1)由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.抛物线的标准方程与几何性质(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)(20xx全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8(1)D(2)B(1)将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为 ()Ay26xBy28xCy216xDy2(2)若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则MFO的面积为()A BC D(1)B(2)B(1)设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.(2)由题意知，抛物线准线方程为x.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b，所以SMFO.直线与抛物线的位置关系角度1直线与抛物线的交点问题(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点角度2与抛物线弦长或中点有关的问题(20xx北京高考)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.跟踪训练已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积. 【导学号：79140290】解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.
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