资源描述
高考数学精品复习资料 2019.5 第三节第三节 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考纲传真 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性 (对应学生用书第 42 页) 基础知识填充 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数ysin x，x0,2图像的五个关键点是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函数ycos x，x0,2图像的五个关键点是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 R R R R 错误错误! ! 值域 1,1 1,1 R R 单调性 在 2k2，2k2(kZ Z)上是增加的； 在 2k2，2k32(kZ Z)上是减少的 在2k， 2k(kZ Z)上是增加的； 在2k， 2k(kZ Z)上是减少的 在k2，k2(kZ Z)上是增加的 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 对称中心 对称中心 (k，0)，kZ Z k2，0 ，kZ Z k2，0 ，kZ Z 对称轴 xk2，(kZ Z) 对称轴 xk(kZ Z) 周期性 2 2 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若f(x)Asin(x)(A，0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是2k(kZ Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ Z) 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)正切函数ytan x在定义域内是增函数( ) (2)ysin |x|是偶函数( ) (3)函数ysin x的图像关于点(k，0)(kZ Z)中心对称( ) (4)已知yksin x1，xR R，则y的最大值为k1( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx昆明模拟)函数f(x)cos2x52的图像关于( ) A原点对称 By轴对称 C直线x52对称 D直线x52对称 A A 函数f(x)cos2x52sin 2x是奇函数，则图像关于原点对称，故选 A 3函数ytan 2x的定义域是( ) Ax xk4，kZ Z Bx xk28，kZ Z Cx xk8，kZ Z Dx xk24，kZ Z D D 由 2xk2，kZ Z，得xk24，kZ Z， ytan 2x的定义域为x xk24，kZ Z. 4(20 xx长沙模拟)函数ysin12x3，x2，2的单调递增区间是( ) A2，53 B2，53和3，2 C53，3 D3，2 C C 令z12x3，函数ysin z的单调递增区间为2k2，2k2(kZ Z)，由2k212x32k2得 4k53x4k3，而x2，2，故其单调递增区间是53，3，故选 C 5(教材改编)函数f(x)42cos 13x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_ 【导学号：00090091】 2 x|x6k，kZ Z f(x)min422，此时，13x2k(kZ Z)，x6k(kZ Z)，所以x的取值集合为x|x6k，kZ Z (对应学生用书第 43 页) 三角函数的定义域与值域 (1)(20 xx全国卷)函数f(x)cos 2x6cos2x的最大值为( ) A4 B5 C6 D7 (2)函数ylg(sin 2x) 9x2的定义域为_ (1 1)B B (2 2) 3 3，20，2 (1)f(x)cos 2x6cos2xcos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B (2)由 sin 2x0，9x20，得 kxk2，kZ Z，3x3， 3x2或 0 x2， 函数ylg(sin 2x) 9x2的定义域为3，20，2. 规律方法 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)， 常借助三角函数线或三角函数图像来求解 2求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x和 cos x的值域求解 (2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域 (3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x或 sin xcos x换成t，转化为二次函数求解 变式训练 1 (1)已知函数y2cos x的定义域为3， ，值域为a，b，则ba的值是( ) A2 B3 C 32 D2 3 (2)求函数ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 (1)B B x3， ，cos x1，12，y2cos x的值域为2,1， ba3. (2)令tsin x，|x|4，t22，22， 3 分 yt2t1t12254， 当t12时，ymax54，当t22时，ymin1 22， 7 分 函数ycos2xsin x|x|4的最大值为54，最小值为1 22. 12 分 三角函数的单调性 (1)(20 xx洛阳模拟)已知0， 函数f(x)sinx4在2， 上单调递减，则的取值范围是( ) 【导学号：00090092】 A12，54 B12，34 C0，12 D(0,2 (2)函数f(x)sin2x3的单调减区间为_ (1 1)A A (2)k12，k512(kZ Z) (1)由2x 得24x44， 由 题 意 知24， 42，32， 所 以 242，432，解得1254. (2)由已知函数为ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求ysin2x3的单调增区间即可 由 2k22x32k2，kZ Z， 得k12xk512，kZ Z. 故所求函数的单调减区间为k12，k512(kZ Z) 规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)求函数的单调区间应遵循简化原则， 将解析式先化简， 并注意复合函数单调性规律“同增异减” (2)求形如yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解若0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错 2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 变式训练 2 (1)函数f(x)tan2x3的单调递增区间是_ (2)若函数f(x)sin x(0)在区间0，3上是增加的，在区间3，2上是减少的，则_. (1)k212，k2512(kZ Z) (2)32 (1)由2k2x32k(kZ Z)， 得k212xk2512(kZ Z) (2)f(x)sin x(0)过原点， 当 0 x2，即 0 x2时，ysin x是增函数； 当2x32，即2x32时，ysin x是减函数 由f(x)sin x(0)在0，3上是增加的， 在3，2上是减少的知，23，32. 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 角度 1 奇偶性与周期性的判断 (1)(20 xx大连模拟)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期为 的所有函数为( ) 【导学号：00090093】 A B C D (2)函数y12sin2x34是( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 (1)C C (2)A A (1)ycos|2x|cos 2x，T. 由图像知，函数的周期T. T. T2. 综上可知，最小正周期为 的所有函数为. (2)y12sin2x34cos 2x34sin 2x，所以f(x)是最小正周期为 的奇函数 角度 2 求三角函数的对称轴、对称中心 已知函数f(x)sin(x)0，|2的最小正周期为 4，且对任意xR R，都有f(x)f3成立，则f(x)图像的一个对称中心的坐标是( ) A23，0 B3，0 C23，0 D53，0 A A 由f(x)sin (x)的最小正周期为 4，得12.因为f(x)f3恒成立，所以f(x)maxf3， 即12322k(kZ Z)， 所以32k(kZ Z)，由|2， 得3，故f(x)sin12x3. 令12x3k(kZ Z)， 得x2k23(kZ Z)，故f(x)图像的对称中心为2k23，0 (kZ Z)，当k0 时，f(x)图像的一个对称中心的坐标为23，0 ，故选 A 角度 3 三角函数对称性的应用 (1)如果函数y3cos(2x)的图像关于点43，0 中心对称， 那么|的最小值为( ) A6 B4 C3 D2 (2)已知函数f(x)sin xacos x的图像关于直线x53对称，则实数a的值为 ( ) A 3 B33 C 2 D22 (1 1)A A (2 2)B B (1)由题意得 3cos243 3cos232 3cos230， 23k2，kZ Z， k6，kZ Z，取k0，得|的最小值为6. (2)由x53是f(x)图像的对称轴，可得f(0)f103， 即 sin 0acos 0sin103acos103，解得a33. 规律方法 1.对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断 2求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义 (2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|. (3)借助函数的图像
展开阅读全文