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高考数学精品复习资料 2019.5 第三节第三节 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 考纲传真 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 (对应学生用书第 61 页) 基础知识填充 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a a和b b，如图 431，作OAa a，OBb b，则AOB(0180)叫作a a与b b的夹角 图 431 (2)当0时，a a与b b共线同向 当180时，a a与b b共线反向 当90时，a a与b b互相垂直 2平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a a和b b，它们的夹角为，则数量|a a|b b|cos 叫做a a与b b的数量积(或内积)规定：零向量与任一向量的数量积为 0. (2)几何意义：数量积a ab b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos 的乘积或b b的长度|b b|与a a在b b方向上射影|a a|cos 的乘积 3平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ab bb ba a； (2)数乘结合律：(a a)b b(a ab b)a a(b b)； (3)分配律：a a(b bc c)a ab ba aC C 4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a，b b 结论 几何表示 坐标表示 模 |a a|a aa a |a a|x21y21 数量积 a ab b|a a|b b|cos a ab bx1x2y1y2 夹角 cos a ab b|a a|b b| cos x1x2y1y2x21y21x22y22 a ab b a ab b0 x1x2y1y20 |a ab b|与|a a|b b|的关系 |a ab b|a a|b b| |x1x2y1y2|x21y21x22y22 知识拓展 1两个向量a a，b b的夹角为锐角abab0 且a a，b b不共线； 两个向量a a，b b的夹角为钝角abab0 且a a，b b不共线 2平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ab b)(a ab b)a a2b b2. (2)(a ab b)2a a22a ab bb b2. (3)(a ab b)2a a22a ab bb b2. 3当a a与b b同向时，abab|a|ba|b|； 当a a与b b反向时，abab|a|ba|b|. 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量( ) (2)由a ab b0，可得a a0 或b b0.( ) (3)由a ab ba ac c及a a0 不能推出b bC C( ) (4)在四边形ABCD中，ABDC且ACBD0，则四边形ABCD为矩形. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx全国卷)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC( ) A30 B45 C60 D120 A A 因为BA12，32，BC32，12，所以BABC343432.又因为BABC|BA|BC|cosABC11cosABC，所以 cosABC32.又 0ABC180，所以ABC30.故选 A 3(20 xx全国卷)向量a a(1，1)，b b(1,2)，则(2a ab b)a a( ) A1 B0 C1 D2 C C 法一：a a(1，1)，b b(1,2)，a a22，a ab b3， 从而(2a ab b)a a2a a2a ab b431. 法二：a a(1，1)，b b(1,2)， 2a ab b(2，2)(1,2)(1,0)， 从而(2a ab b)a a(1,0)(1，1)1，故选 C 4(教材改编)已知|a a|5，|b b|4，a a与b b的夹角120，则向量b b在向量a a方向上的投影为_ 2 由数量积的定义知，b b在a a方向上的投影为|b b|cos 4cos 1202. 5(20 xx全国卷)已知向量a a(1,2)，b b(m,1)若向量a ab b与a a垂直，则m_. 7 7 a a(1,2)，b b(m,1)， a ab b(1m,21)(m1,3) 又a ab b与a a垂直，(a ab b)a a0， 即(m1)(1)320， 解得m7. (对应学生用书第 62 页) 平面向量数量积的运算 (1)(20 xx天津高考)已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为( ) A58 B18 C14 D118 (2)已知正方形ABCD的边长为 1， 点E是AB边上的动点， 则DECB的值为_；DEDC的最大值为_. 【导学号：00090135】 (1)B B (2)1 1 (1)如图所示，AFADDF. 又D，E分别为AB，BC的中点， 且DE2EF，所以AD12AB，DF12AC14AC34AC， 所以AF12AB34AC. 又BCACAB， 则AFBC12AB34AC(ACAB) 12ABAC12AB234AC234ACAB 34AC212AB214ACAB. 又|AB|AC|1，BAC60， 故AFBC341214111218.故选 B (2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1. 因为DC(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1， 故DEDC的最大值为 1. 法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB1，所以DECB|CB|11， 当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC1， 所以(DEDC)max|DC|11. 规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形 变式训练 1 (1)已知AB(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为 ( ) A3 22 B3 5 C3 22 D3 5 (2)(20 xx榆林模拟)已知在矩形ABCD中，AB3，BC 3，BE2EC， 点F在边CD上 若ABAF3，则AEBF的值为( ) 【导学号：00090136】 A0 B8 33 C4 D4 (1)C C (2 2)C C (1)因为点C(1,0)，D(4,5)， 所以CD(5,5)， 又AB(2,1)， 所以向量AB在CD方向上的投影为 |AB|cosAB，CDABCD|CD|155 23 22. (2)由ABAF3 得AB(ADDF)ABDF3， 所以|DF|1，|CF|2， 所以AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC624. 平面向量数量积的性质 角度 1 平面向量的模 (1)(20 xx合肥二次质检)已知不共线的两个向量a a，b b满足|a ab b|2 且a a(a a2b b)，则|b b|( ) A 2 B2 C2 2 D4 (2)(20 xx西安模拟)已知平面向量a a，b b的夹角为6，且|a a| 3，|b b|2，在ABC中，AB2a a2b b，AC2a a6b b，D为BC的中点，则|AD|_. (1 1)B B (2 2)2 2 (1)由a a(a a2b b)得a a(a a2b b)|a a|22a ab b0.又|a ab b|2，|a ab b|2|a a|22a ab b|b b|24，则|b b|24，|b b|2，故选 B (2)因为AD12(ABAC) 12(2a a2b b2a a6b b) 2a a2b b， 所以|AD|24(a ab b)24(a a22babab b2) 4(322 3cos64)4， 所以|AD|2. 角度 2 平面向量的夹角 (1)已知单位向量e e1与e e2的夹角为，且 cos 13，向量a a3e e12e e2与b b3e e1e e2的夹角为，则 cos _. (2)若向量a a(k,3)，b b(1,4)，c c(2,1)，已知 2a a3b b与c c的夹角为钝角，则k的取值范围是_ (1 1)2 2 2 23 3 (2 2) ，9 92 2 9 92 2，3 3 (1)因为a a2(3e e12e e2)2 923212cos 49， 所以|a a|3， 因为b b2(3e e1e e2)2923112cos 18， 所以|b b|2 2， abab(3e e12e e2)(3e e1e e2) 9e e219e e1e e22e e2299111328， 所以 cos abab|a|ba|b|832 22 23. (2)2a a3b b与c c的夹角为钝角， (2a a3b b)c c0， 即(2k3，6)(2,1)0， 4k660， k3. 又若(2a a3b b)c c，则 2k312，即k92. 当k92时，2a a3b b(12，6)6c c， 即 2a a3b b与c c反向 综上，k的取值范围为，9292，3 . 角度 3 平面向量的垂直 (20 xx山东高考)已知向量a a(1，1)，b b(6，4)若a a(ta ab b)，则实数t的值为_ 5 5 a a(1，1)，b b(6，4)，ta ab b(t6，t4) 又a a(ta ab b)，则a a(ta ab b)0，即t6t40，解得t5. 规律方法 1.求两向量的夹角：cos a ab b|a a|b b|，要注意0， 2 两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是：a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|. 3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a a2a aa a|a a|2或|a a|a aa a. (2)|a ab b|a ab b2a a22a ab bb b2. (3)若a a(x，y)，则|a a|x2y2. 平面向量与三角函数的综合 (20 xx佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中， 已知向量m m22，22，n n(sin x，cos x)，x0，2. (1)若mnmn，求 tan x的值； (2)若m m与n n的夹角为3，求x的值 【导学号：00090137】 解 (1)因为m m22，22，n n(sin x，cos x)，mnmn. 所以mnmn0，即22sin x22cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m m|n n|1，所以mnmncos312， 即22sin x22cos x12， 所以 sinx412， 因为 0 x2，所以4x44， 所以x46，即x512. 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式， 运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等 变式训练 2 (20 xx郴州模拟)已知向量a asin x，32，b b(cos x，1) (1)当abab时，求 tan 2x的值； (2)求函数f(x)(a ab b)b b在2，0 上的值域 解 (1)abab，a asin x，32，b b(cos x，1) sin x(1)32cos x0， 即 sin x32cos x0， 得 sin x32cos x， tan xsin xcos x32， tan 2x2tan x1tan2x125. (2)a asin x，32，b b(cos x，1)， ababsin xcos x32，b b2cos2x(1)2cos2x1， f(x)(a ab b)b bababb b2sin xcos x32cos2x112sin 2x12(1cos 2x)1222sin2x4. x2，0 ，2x434，4， sin2x41，22， f(x)22sin2x422，12. 故函数f(x)(a ab b)b b在2，0 上的值域为22，12.
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