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高考数学精品复习资料2019.5第一节第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲传真1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(对应学生用书第 39 页)基础知识填充1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角： 所有与角终边相同的角， 连同角在内， 可构成一个集合S|k360，kZ Z2弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角的弧度数公式|lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1180rad；1 rad180弧长公式弧长l|r扇形面积公式S12lr12|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sinx叫做的余弦， 记作cosyx叫做的正切，记作tan各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线知识拓展1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则 sinyr，cosxr，tanyx(x0)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函数值与终边上点P的位置无关()(4)若为第一象限角，则 sincos1.()答案(1)(2)(3)(4)2(20 xx西宁复习检测(一)若 cos0，且 sin 20，则角的终边所在象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D D由 cos0，sin 22sincos0得 sin0，则角的终边在第四象限，故选 D3(教材改编)已知角的终边与单位圆的交点为M12，y，则 sin()【导学号：00090079】A32B32C22D22B B由题意知|r|2122y21，所以y32.由三角函数定义知 siny32.4在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C910D109D D单位圆的半径r1,200的弧度数是200180109，由弧长公式得l109.5终边在射线yx(x0)上的角的集合是_|2k34，kZ Z终边在射线yx(x0)上的一个角为34，从而所求角的集合为|2k34，kZ Z(对应学生用书第 40 页)角的有关概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)已知角的终边在如图 311 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_图 311(1)C C(2)2k4， 2k56(kZ Z)(1)是第二象限角， 22k2k，kZ Z，4k22k，kZ Z.当k为偶数时，2是第一象限角；当k为奇数时，2是第三象限角综上，2是第一或第三象限角(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为4，56，所求角的集合为2k4，2k56(kZ Z)规律方法1.与角终边相同的角可以表示为2k(kZ Z)的形式，是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用2由所在象限，判定2所在象限，应先确定2的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论变式训练 1(1)终边在直线y 3x上的角的集合是()【导学号：00090080】A|32k，kZ ZB|232k，kZ ZC|3k，kZ ZD|23k，kZ Z(2)已知角45，在区间720，0内与角有相同终边的角_.(1)D D(2)675或315(1)在(0，)内终边在直线y 3x上的角为23，所以终边在直线y 3x上的角的集合为|23k，kZ Z.(2)由终边相同的角的关系知k36045，kZ Z，取k2，1，得675或315.扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解(1)设圆心角是，半径是r，则2rr10，12r24，解得r1，8(舍去)或r4，12，扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是，半径是r，则 2rr40.又S12r212r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当r10 时，Smax100，此时 2101040，2，当r10，2 时，扇形的面积最大规律方法1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发， 在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解2利用公式：(1)lR；(2)S12lR；(3)S12R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量变式训练 2(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A6B3C3D 3(2)若扇形的圆心角120，弦长AB12 cm，则弧长l_cm.(1)D D(2)8 33(1)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB23，作OMAB，垂足为M，在 RtAOM中，AOr，AOM3，AM32r，AB 3r，l 3r，由弧长公式得lr3rr 3.(2)设扇形的半径为rcm，如图由 sin 606r，得r4 3 cm，l|r234 38 33 cm.三角函数的定义(1)(20 xx天水模拟)若角的终边经过点P( 3，m)(m0)且 sin24m，则cos的值为_(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达Q点，则Q点的坐标为_【导学号：00090081】(1 1)6 64 4(2 2)1 12 2，3 32 2(1)由题意知r 3m2，sinm3m224m，m0，m 5，r 3m22 2，cos 32 264.(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos2312，ysin2332.Q点的坐标为12，32 .规律方法用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题变式训练 3(1)(20 xx合肥模拟)已知角的终边经过点P(x， 6)， 且 cos513，则x_.(2)已知角的终边上一点Psin56，cos56，若(，0)，则_.(1 1)5 52 2(2 2)3(1)cosxx236513，解得x52，或x52，又x0，即x0，所以x52.(2)法一：点P的坐标为P12，32 ，点P到原点O的距离r1，从而 cos12，又(，0)，所以3.法二： 由 sin256cos2561 得 cossin56cos256cos3 ， 又(，0)，所以3.
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