高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测三十七 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含解析

高考数学精品复习资料 2019.5 课时达标检测（三十七）课时达标检测（三十七） 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 小题常考题点小题常考题点准解快解准解快解 小题常考题点小题常考题点准解快解准解快解 1(20 xx 广东广州模拟广东广州模拟)设设 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命是两个不同的平面，下列命题中正确的是题中正确的是( ) A若若 ，m，n，则，则 mn B若若 m，mn，n，则，则 C若若 mn，m，n，则，则 D若若 ，m，n，则，则 mn 解析：解析：选选 B 若若 ，m，n，则，则 m 与与 n 相交、平行或异面，故相交、平行或异面，故 A 错误；错误；m，mn，n，又，又n，故，故 B 正确；若正确；若 mn，m，n，则，则 与与 的位置关系不确定， 故的位置关系不确定， 故 C 错误； 若错误； 若 ， m， n， 则， 则 mn 或或 m， n 异面， 故异面， 故 D 错误 故错误 故选选 B. 2(20 xx 湖南一中月考湖南一中月考)下列说法错误的是下列说法错误的是( ) A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直 D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行一定平行 解析：解析：选选 D 如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面异面 3.如图，在斜三棱柱如图，在斜三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，BAC90，BC1AC，则，则C1在底面在底面 ABC 上的射影上的射影 H 必在必在( ) A直线直线 AB 上上 B直线直线 BC 上上 C直线直线 AC 上上 DABC 内部内部 解析：解析：选选 A 连接连接 AC1(图略图略)，由，由 ACAB，ACBC1，得，得 AC平面平面 ABC1.AC平平面面 ABC，平面平面 ABC1平面平面 ABC.C1在平面在平面 ABC 上的射影上的射影 H 必在两平面的交线必在两平面的交线 AB 上上 4(20 xx 河北唐山模拟河北唐山模拟)如图，在正方形如图，在正方形 ABCD 中，中，E、F 分别是分别是 BC、CD 的中点，的中点，G是是 EF 的中点，现在沿的中点，现在沿 AE、AF 及及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点三点重合，重合后的点记为重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有，那么，在这个空间图形中必有( ) AAG平面平面 EFH BAH平面平面 EFH CHF平面平面 AEF DHG平面平面 AEF 解析：解析：选选 B 根据折叠前、后根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，不变，AH平面平面 EFH，B 正确；正确；过过 A 只有一条直线与平面只有一条直线与平面 EFH 垂直，垂直， A 不正确；不正确； AGEF， EFGH， AGGHG，EF平面平面 HAG， 又， 又 EF平面平面 AEF， 平面平面 HAGAEF， 过点， 过点 H 作直线垂直于平面作直线垂直于平面 AEF，一定在平面一定在平面 HAG 内，内，C 不正确；由条件证不出不正确；由条件证不出 HG平面平面 AEF，D 不正确故选不正确故选 B. 5.如图， 直三棱柱如图， 直三棱柱 ABC - A1B1C1中， 侧棱长为中， 侧棱长为 2， ACBC1， ACB90，D 是是 A1B1的中点，的中点，F 是是 BB1上的动点，上的动点，AB1，DF 交于点交于点 E.要使要使AB1平平面面 C1DF，则线段，则线段 B1F 的长为的长为( ) A.12 B1 C.32 D2 解析：解析：选选 A 设设 B1Fx，因为，因为 AB1平面平面 C1DF，DF平面平面 C1DF，所以，所以 AB1DF.由由已知可得已知可得 A1B1 2，设，设 RtAA1B1斜边斜边 AB1上的高为上的高为 h，则，则 DE12h. 又又 2 2h22 2 2，所以，所以 h2 33，DE33. 在在 RtDB1E 中，中，B1E 222 33266. 由面积相等得由面积相等得66 x2 22222x，得，得 x12. 6.如图，已知如图，已知BAC90，PC平面平面 ABC，则在，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线是垂直的直线是_；与；与 AP 垂直的直垂直的直线是线是_ 解析：解析：PC平面平面 ABC， PC 垂直于直线垂直于直线 AB，BC，AC. ABAC，ABPC，ACPCC， AB平面平面 PAC， 又又AP平面平面 PAC， ABAP，与，与 AP 垂直的直线是垂直的直线是 AB. 答案：答案：AB，BC，AC AB 7.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD，且底面各边都相等，且底面各边都相等，M 是是 PC上的一动点，当点上的一动点，当点 M 满足满足_时，平面时，平面 MBD平面平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确只要填写一个你认为是正确的条件即可的条件即可) 解析：解析：如图，连接如图，连接 AC，BD，则，则 ACBD， PA底面底面 ABCD， PABD. 又又 PAACA， BD平面平面 PAC，BDPC， 当当 DMPC(或或 BMPC)时，时， 即有即有 PC平面平面 MBD.而而 PC平面平面 PCD， 平面平面 MBD平面平面 PCD. 答案：答案：DMPC(或或 BMPC 等等) 8.(20 xx 福建泉州模拟福建泉州模拟)如图，一张如图，一张 A4 纸的长、宽分别为纸的长、宽分别为 2 2a，2a，A，B，C，D 分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得使得 P1，P2，P3，P4四点重合为一点四点重合为一点 P，从而得到一个多面体下，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的写出所有正确命题的序号序号) 该多面体是三棱锥；该多面体是三棱锥； 平面平面 BAD平面平面 BCD； 平面平面 BAC平面平面 ACD； 该多面体外接球的表面积为该多面体外接球的表面积为 5a2. 解析：解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；正确；APBP，APCP，BPCPP，AP平面平面 BCD，又，又AP平面平面 ABD，平面平面 BAD平面平面 BCD，故，故正确；同理可正确；同理可证平面证平面 BAC平面平面 ACD，故，故正确；该多面体的外接球半径正确；该多面体的外接球半径 R52a，所以该多面体外接，所以该多面体外接球的表面积为球的表面积为 5a2，故，故正确综上，正确命题的序号为正确综上，正确命题的序号为. 答案：答案： 大题常考题点大题常考题点稳解全解稳解全解 1.如图，四棱锥如图，四棱锥 P- ABCD 中，中， AP平面平面 PCD，ADBC，ABBC12AD，E，F 分别为线段分别为线段 AD，PC 的中点求证的中点求证： (1)AP平面平面 BEF； (2)BE平面平面 PAC. 证明：证明：(1)设设 ACBEO，连接，连接 OF，EC，如图所示，如图所示 由于由于 E 为为 AD 的中点，的中点，ABBC12AD，ADBC， 所以所以 AEBC，AEABBC， 因此四边形因此四边形 ABCE 为菱形，所以为菱形，所以 O 为为 AC 的中点的中点 又又 F 为为 PC 的中点，因此在的中点，因此在PAC 中，可得中，可得 APOF. 又又 OF平面平面 BEF，AP 平面平面 BEF.所以所以 AP平面平面 BEF. (2)由题意知由题意知 EDBC，EDBC. 所以四边形所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此为平行四边形，因此 BECD. 又又 AP平面平面 PCD， 所所以以 APCD，因此，因此 APBE. 因为四边形因为四边形 ABCE 为菱形，所以为菱形，所以 BEAC. 又又 APACA，AP，AC平面平面 PAC， 所以所以 BE平面平面 PAC. 2.(20 xx 广州模拟广州模拟)在三棱锥在三棱锥 P - ABC 中，中，PAB 是等边三角形，是等边三角形，APCBPC60. (1)求证：求证：ABPC； (2)若若 PB4，BEPC，求三棱锥，求三棱锥 B - PAE 的体积的体积 解：解： (1)证明： 因为证明： 因为PAB 是等边三角形，是等边三角形， APCBPC60， 所以， 所以PBCPAC，所以所以 ACBC. 如图，取如图，取 AB 的中点的中点 D，连接，连接 PD，CD，则，则 PDAB，CDAB， 因为因为 PDCDD， 所以所以 AB平面平面 PDC， 因为因为 PC平面平面 PDC， 所以所以 ABPC. (2)由由(1)知，知，ABPC，又，又 BEPC，ABBEB，所以，所以 PC平面平面 ABE，所以，所以 PCAE. 因为因为 PB4，所以在，所以在 RtPEB 中，中，BE4sin 602 3，PE4cos 602，在，在 RtPEA 中，中，AEPEtan 602 3， 所以所以 AEBE2 3， 所以所以 SABE12 ABBE2 12AB24 2. 所以三棱锥所以三棱锥 B - PAE 的体积的体积 VB - PAEVP - ABE13SAEB PE134 228 23. 3 (20 xx 合肥质检合肥质检)如图， 平面五边形如图， 平面五边形 ABCDE 中，中， ABCE， 且， 且 AE2， AEC60，CDED 7，cosEDC57.将将CDE 沿沿 CE 折起，使点折起，使点 D 到到 P 的的位置，且位置，且 AP 3，得，得到四棱锥到四棱锥 P - ABCE. (1)求证：求证：AP平面平面 ABCE； (2)记平面记平面 PAB 与平面与平面 PCE 相交于直线相交于直线 l，求证：，求证：ABl. 证明：证明：(1)在在CDE 中，中，CDED 7，cosEDC57，由余，由余弦定理得弦定理得 CE2.连接连接AC(图略图略)，AE2，AEC60，AC2.又又 AP 3，在在PAE 中，中，PA2AE2PE2，即，即 APAE.同理，同理，APAC.而而 AC平面平面 ABCE，AE平面平面 ABCE，ACAEA，故，故AP平面平面 ABCE. (2)ABCE，且，且 CE平面平面 PCE，AB 平面平面 PCE，AB平面平面 PCE.又平面又平面 PAB平平面面 PCEl，ABl. 4.(20 xx 山西省重点中学联考山西省重点中学联考)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面中，底面ABCD 是矩形，且是矩形，且 AB 2BC，E，F 分别在线段分别在线段 AB，CD 上，上，G，H 在线段在线段 PC 上，上，EFPA，且，且BEBADFDCPGPCCHCP14.求证：求证： (1)EH平面平面 PAD； (2)平面平面 EFG平面平面 PAC. 证明：证明：(1)如图，在如图，在 PD 上取点上取点 M，使得，使得DMDP14，连接，连接 AM，MH，则，则DMDPCHCP14，所以，所以 MH34DC，MHCD， 又又 AE34AB，四边形，四边形 ABCD 是矩形，是矩形， 所以所以 MHAE，MHAE，所以四边形，所以四边形 AEHM 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 EHAM， 又又 AM平面平面 PAD，EH 平面平面 PAD，所以，所以 EH平面平面 PAD. (2)取取 AB 的中点的中点 N，连接，连接 DN，则，则 NEDF，NEDF， 则四边形则四边形 NEFD 为平行四边形，则为平行四边形，则 DNEF， 在在DAN 和和CDA 中，中，DANCDA，ANDA12DACD， 则则DANCDA， 则则ADNDCA，则，则 DNAC，则，则 EFAC， 又又 EFPA，ACPAA，所以，所以 EF平面平面 PAC， 又又 EF平面平面 EFG，所以平面，所以平面 EFG平面平面 PAC. 5.(20 xx 福州五校联考福州五校联考)如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面中，侧面ABB1A1是矩形，是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且且 BC1A1C. (1)求证：平面求证：平面 ABC1平面平面 A1ACC1； (2)设设 D 是是 A1C1的中点， 判断并证明在线段的中点， 判断并证明在线段 BB1上是否存在点上是否存在点 E， 使得， 使得 DE平面平面 ABC1.若存在，求三棱锥若存在，求三棱锥 E - ABC1的体积的体积 解：解：(1)在三棱柱在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面中，侧面 ABB1A1是矩形，是矩形， AA1AB，又，又 AA1BC，ABBCB，A1A平面平面 ABC，A1AAC，又，又 A1AAC，A1CAC1. 又又 BC1A1C，BC1AC1C1，A1C平面平面 ABC1， 又又 A1C平面平面 A1ACC1，平面平面 ABC1平面平面 A1ACC1. (2)当当 E 为为 B1B 的中点时，连接的中点时，连接 AE，EC1，DE，如图，取，如图，取 A1A 的中的中点点 F，连接，连接 EF，FD， EFAB，DFAC1， 又又 EFDFF，ABAC1A，平面平面 EFD平面平面 ABC1， 又又 DE平面平面 EFD，DE平面平面 ABC1.此时此时 VE - ABC1VC1 - ABE131222483. 6如图，在四棱锥如图，在四棱锥 S - ABCD 中，平面中，平面 SAD平面平面 ABCD.四边形四边形 ABCD 为正方形，且为正方形，且点点 P 为为 AD 的中点，点的中点，点 Q 为为 SB 的中点的中点 (1)求证：求证：CD平面平面 SAD. (2)求证：求证：PQ平面平面 SCD. (3)若若 SASD，点，点 M 为为 BC 的中点，在棱的中点，在棱 SC 上是否存在点上是否存在点 N，使得平面，使得平面 DMN平面平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 解：解：(1)证明：因为四边形证明：因为四边形 ABCD 为正方形，所以为正方形，所以 CDAD. 又因为平面又因为平面 SAD平面平面 ABCD，且平面，且平面 SAD平面平面 ABCDAD，所以，所以 CD平面平面 SAD. (2)证明：如图，取证明：如图，取 SC 的中点的中点 R，连接，连接 QR，DR. 由题意知：由题意知： PDBC 且且 PD12BC. 在在SBC 中，点中，点 Q 为为 SB 的中点，点的中点，点 R 为为 SC 的中点，的中点， 所以所以 QR BC 且且 QR12BC， 所以所以 PDQR，且，且 PDQR， 所以四边形所以四边形 PDRQ 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 PQDR. 又因为又因为 PQ 平面平面 SCD，DR平面平面 SCD， 所以所以 PQ平面平面 SCD. (3)存在点存在点 N 为为 SC 的中点，使得平面的中点，使得平面 DMN平面平面 ABCD. 证明如下：证明如下： 如图，连接如图，连接 PC，DM 交于点交于点 O， 连接连接 DN，PM，SP，NM，ND，NO， 因为因为 PDCM，且，且 PDCM， 所以四边形所以四边形 PMCD 为平行四边形，所以为平行四边形，所以 POCO. 又因为又因为点点 N 为为 SC 的中点，的中点， 所以所以 NOSP. 易知易知 SPAD， 因为平面因为平面 SAD平面平面 ABCD， 平面平面 SAD平面平面 ABCDAD，并且，并且 SPAD， 所以所以 SP平面平面 ABCD， 所以所以 NO平面平面 ABCD. 又因为又因为 NO平面平面 DMN， 所以平面所以平面 DMN平面平面 ABCD. 1(20 xx 河北保定模拟河北保定模拟)有下列命题：有下列命题： 若直线若直线 l 平行于平面平行于平面 内的无数条直线，则直线内的无数条直线，则直线 l； 若直线若直线 a 在平面在平面 外，则外，则 a； 若直线若直线 ab，b，则，则 a； 若直线若直线 ab，b，则，则 a 平行于平面平行于平面 内的无数条直线内的无数条直线 其中真命题的个数是其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 A 命题命题l 可以在平面可以在平面 内，是假命题；命题内，是假命题；命题直线直线 a 与平面与平面 可以是相交可以是相交关系，是假命题；命题关系，是假命题；命题a 可以在平面可以在平面 内，是假命题；命题内，是假命题；命题是真命题是真命题 2(20 xx 湖南湘中名校联考湖南湘中名校联考)已知已知 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是三个不同的平是三个不同的平面，下列命题中正确的是面，下列命题中正确的是( ) A若若 m，n，则，则 mn B若若 m，m，则，则 C若若 ，则，则 D若若 m，n，则，则 mn 解析：解析：选选 D A 中，两直线可能平行，相交或异面；中，两直线可能平行，相交或异面；B 中，两平面可能平行或相交；中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平中，两平面可能平行或相交；行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选 D. 3设设 m，n 是不同的直线，是不同的直线， 是不同的平面，且是不同的平面，且 m，n，则，则“”是是“m且且 n”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 若若 m，n，则，则 m 且且 n；反之若；反之若 m，n，m 且且 n，则则 与与 相交或平行，即相交或平行，即“”是是“m 且且 n”的充分不必要条件的充分不必要条件 4(20 xx 襄阳模拟襄阳模拟)如图，在正方体如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，中，M，N 分别分别是是 BC1，CD1的中点，则的中点，则下列说法错误的是下列说法错误的是( ) AMN 与与 CC1垂直垂直 BMN 与与 AC 垂直垂直 CMN 与与 BD 平行平行 DMN 与与 A1B1平行平行 解析：解析：选选 D 如图所示，连接如图所示，连接 AC，C1D，BD，则，则 MNBD，而，而 C1CBD，故，故 C1CMN，故，故 A、C 正确，正确，D 错误，又因为错误，又因为 ACBD，所以，所以MNAC，B 正确正确 5.(20 xx 湖南长郡中学质检湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱如图所示的三棱柱 ABC - A1B1C1中，过中，过A1B1的平面与平面的平面与平面 ABC 交于交于 DE，则，则 DE 与与 AB 的位置关系是的位置关系是( ) A异面异面 B平行平行 C相交相交 D以上均有可能以上均有可能 解析：解析：选选 B 在三棱柱在三棱柱 ABC - A1B1C1中，中，ABA1B1， AB平面平面 ABC，A1B1 平面平面 ABC， A1B1平面平面 ABC， 过过 A1B1的平面与平面的平面与平面 ABC 交于交于 DE. DEA1B1，DEAB. 6已知正方体已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是，下列结论中，正确的结论是_(只填序号只填序号) AD1BC1；平面平面 AB1D1平面平面 BDC1； AD1DC1；AD1平面平面 BDC1. 解析：解析：连接连接 AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为，因为 AB 綊 C1D1，所以四边形所以四边形 AD1C1B 为平行四边形，故为平行四边形，故 AD1BC1，从而，从而正确；易证正确；易证BDB1D1，AB1DC1，又，又 AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面，故平面 AB1D1平面平面 BDC1，从而从而正确；由图易知正确；由图易知 AD1与与 DC1异面，故异面，故错误；因错误；因 AD1BC1，AD1 平面平面 BDC1，BC1平面平面 BDC1，故，故 AD1平面平面 BDC1，故，故正确正确 答案：答案： 7.如图所示，在四面体如图所示，在四面体 ABCD 中，中，M，N 分别是分别是ACD，BCD的 重 心 ， 则 四 面 体 的 四 个 面 所 在 平 面 中 与的 重 心 ， 则 四 面 体 的 四 个 面 所 在 平 面 中 与 MN 平 行 的 是平 行 的 是_ 解析：解析：连接连接 AM 并延长，交并延长，交 CD 于点于点 E，连接，连接 BN，并延长交，并延长交 CD 于于点点 F，由重心性质可，由重心性质可知，知，E，F 重合为一点，且该点为重合为一点，且该点为 CD 的中点的中点 E，连，连接接 MN，由，由EMMAENNB12，得，得 MNAB.因此，因此，MN平面平面 ABC 且且 MN平平面面 ABD. 答案：答案：平面平面 ABC、平面、平面 ABD 8.如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱 ABC - A1B1C1的侧面的侧面 BCC1B1是菱形，设是菱形，设 D 是是A1C1上的点且上的点且 A1B平面平面 B1CD，则，则 A1DDC1的值为的值为_ 解析：解析：设设 BC1B1CO，连接，连接 OD. A1B平面平面 B1CD 且平面且平面 A1BC1平面平面 B1CDOD， A1BOD， 四边形四边形 BCC1B1是菱形，是菱形， O 为为 BC1的中点，的中点， D 为为 A1C1的中点，则的中点，则 A1DDC11. 答案：答案：1 大题常考题点大题常考题点稳解全解稳解全解 1.如图，如图，ABCD 与与 ADEF 均为平行四边形，均为平行四边形，M，N，G 分别是分别是AB，AD，EF 的中点求证：的中点求证： (1)BE平面平面 DMF； (2)平面平面 BDE平面平面 MNG. 证明：证明：(1)连接连接 AE，则，则 AE 必过必过 DF 与与 GN 的交点的交点 O， 连接连接 MO，则，则 MO 为为ABE 的中位线，所以的中位线，所以 BEMO， 又又BE 平面平面DMF， MO平面平面DMF， 所以， 所以BE平面平面DMF. (2)因为因为 N，G 分别为平行四边形分别为平行四边形 ADEF 的边的边 AD，EF 的的中点，所以中点，所以 DEGN， 又又 DE 平面平面 MNG，GN平面平面 MNG， 所以所以 DE平面平面 MNG. 又又 M 为为 AB 的中点，的中点， 所以所以 MN 为为ABD 的中位线，的中位线， 所以所以 BDMN， 又又 MN平面平面 MNG，BD 平面平面 MNG， 所以所以 BD平面平面 MNG， 又又 DE，BD平面平面 BDE，DEBDD， 所以平面所以平面 BDE平面平面 MNG. 2.(20 xx 长春质检长春质检)如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是菱是菱形，形，PD平面平面 ABCD，点，点 D1为棱为棱 PD 的中点，过的中点，过 D1作与平面作与平面 ABCD平行的平面与棱平行的平面与棱 PA，PB，PC 相交于点相交于点 A1，B1，C1，BAD60. (1)求证：求证：B1为为 PB 的中点；的中点； (2)已知棱锥的高为已知棱锥的高为 3，且，且 AB2，AC，BD 的交点为的交点为 O，连接，连接 B1O.求三棱锥求三棱锥 B1- ABO 外接球的体积外接球的体积 解：解：(1)证明：连接证明：连接 B1D1. 由题意知，平面由题意知，平面 ABCD平面平面 A1B1C1D1，平面，平面 PBD平面平面 ABCDBD， 平面平面 PBD平面平面 A1B1D1B1D1，则，则 BDB1D1， 即即 B1D1为为PBD 的中位线，的中位线， 即即 B1为为 PB 的中点的中点 (2)由由(1)可得，可得，OB132，AO 3，BO1，且，且 OAOB，OAOB1，OBOB1， 即三棱锥即三棱锥 B1 - ABO 的外接球为以的外接球为以 OA，OB，OB1为长，宽，高的长方体的外接球，则为长，宽，高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长该长方体的体对角线长 d12 3 2 32252，即外接球半径，即外接球半径 R54. 则三棱锥则三棱锥 B1 - ABO 外接球的体积外接球的体积 V43R343 54312548. 3.如图所示，在正方体如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，中，E，F，G，H 分别是分别是BC，CC1，C1D1，A1A 的中点求证：的中点求证： (1)BFHD1； (2)EG平面平面 BB1D1D； (3)平面平面 BDF平面平面 B1D1H. 证明：证明：(1)如图所示，取如图所示，取 BB1的中点的中点 M，连接，连接 MH，MC1，易证四边形，易证四边形 HMC1D1是平行是平行四四边形，边形， HD1MC1. 又又MC1BF，BFHD1. (2)取取 BD 的中点的中点 O，连接，连接 EO，D1O，则，则 OE 綊12DC， 又又 D1G 綊12DC，OE 綊 D1G， 四边形四边形 OEGD1是平行四边形，是平行四边形，GED1O. 又又 GE 平面平面 BB1D1D，D1O平面平面 BB1D1D， EG平面平面 BB1D1D. (3)由由(1)知知 BFHD1， 又又 BDB1D1，B1D1，HD1平面平面 B1D1H，BF，BD平面平面 BDF，且，且 B1D1HD1D1，DBBFB， 平面平面 BDF平面平面 B1D1H. 4.如图，四棱锥如图，四棱锥 P - ABCD 中，中，ABCD，AB2CD，E 为为 PB 的中的中点点 (1)求证：求证：CE平面平面 PAD. (2)在线段在线段 AB 上是否存在一点上是否存在一点 F，使得平面，使得平面 PAD平面平面 CEF？若存若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由在，证明你的结论，若不存在，请说明理由 解：解：(1)证明：取证明：取 PA 的中点的中点 H，连接，连接 EH，DH， 因为因为 E 为为 PB 的中点，的中点， 所以所以 EHAB，EH12AB， 又又 ABCD，CD12AB， 所以所以 EHCD，EHCD， 因此四边形因此四边形 DCEH 是平行四边形，是平行四边形， 所以所以 CEDH， 又又 DH平面平面 PAD，CE 平面平面 PAD， 因此因此 CE平面平面 PAD. (2)存在点存在点 F 为为 AB 的中点，使平面的中点，使平面 PAD平面平面 CEF， 证明如下：证明如下： 取取 AB 的中点的中点 F，连接，连接 CF，EF， 所以所以 AF12AB， 又又 CD12AB，所以，所以 AFCD， 又又 AFCD，所以四边形，所以四边形 AFCD 为平行四边形，为平行四边形， 因此因此 CFAD， 又又 CF 平面平面 PAD，所以，所以 CF平面平面 PAD， 由由(1)可知可知 CE平面平面 PAD， 又又 CECFC， 故平面故平面 CEF平面平面 PAD， 故存在故存在 AB 的中点的中点 F 满足要求满足要求