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高考数学精品复习资料2019.5数列求和的七种基本方法数列求和的七种基本方法数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法1运用公式法运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列前 n 项和nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)21 35(21)12222111111122222nnnnnn nnn 还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222) 1(41321) 12)(1(61321nnnnnnn题题 1(高考全国卷 I 文科第 17 题)已知 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb满足12111=3n nnnbba bbnb1，（1）求 na的通项公式；（2）求 nb的前 n 项和解解(1)在11nnnna bbnb中选1n ，得1 221a bbb，即11111,233aa又因为 na是公差为 3 的等差数列，所以23(1)31nann（2）由（1）得1131nnnnbbnb，即113nnbb，得 nb是以 1 为首项，13为公比的等比数列，得113nnb .所以 nb的前n项和111313122 313nnnS2倒序相加法倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法题题 2求正整数m与()n mn之间的分母为 3 的所有既约分数的和S解解显然，这些既约分数为：31,32,34,34,32,31nnnmmm有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS题题 3 3求数列123n 的前 n 项和nS.解法解法 1因为211123(1)()22nn nnn ，所以22221(123)(123)2nSnn 1 111(1)(21)(1)(1)(2)2 626n nnn nn nn解法解法 2因为2331211123(1)CCC(2)2nnnnn nn 所以33333333343542121C(CC )(CC )(CC)C(1)(2)(2)6nnnnSn nnn进而可得1(1)(2)(6nSn nnnN*).解法解法 3(倒序相加法)可得1 (12)(123)(123)nSn 1 (2 1)(32 1)(1)(2)1nSnnn 1212(1)(1) (2)(2)(2)(1 1 11)nnnSnnnnnn 个个()3个()把它们相加，得31(2)2(2)3(2)(2)nSnnnn n1(123)(2)(1)(2)2n nn nn 1(1)(2)6nSn nn3裂项相消法裂项相消法题题 4(高考天津卷理科第 18 题)已知 na是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的*nN，nb是na和1na的等比中项.（1）设22*1,nnncbb nN，求证：数列 nc是等差数列；（2）设1ad，2211nknkkTb，*nN，求证：21112nkkTd.解解(1)可得21nnnba a，所以221nnncbb121nnnnaaa a12nda212122nnnnccd aad所以数列 nc是等差数列.(2)可得1(1)(1)naanddndnd，还可得式在这里也成立，所以 2222221234212nnnTbbbbbb 2422nd aaa222(2462 )21dnd n n所以222211111111111112121212nnnkkkkTdk kdkkdnd4分组求和法分组求和法题题 5求11111111111224242nnS 解解设11111242nna ，得1122nna所以本题即求数列1122n的前n项和：111111212222422nnnnSnnan题题 6 6(高考天津卷文科第 18 题)已知an是等比数列， 前 n 项和为 Sn(nN*)， 且1a11a22a3，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN*，bn是 log2an和 log2an1的等差中项，求数列(1)nb2n的前 2n 项和解解(1)设等比数列 na的公比为q，可得2111112aa qa q，解得2q 或1.又由61(1)631naqSq知，1q ，所以61(1 2 )631 2a，解得11a .得数列an的通项公式是12nna.(2)由题意，可得21)2log2(log21)log(log21212122naabnnnnn所以数列) 1(2nnb的前n项和为22221234()()bbbb 222122121222 ()()22nnnnn bbbbbbbn题题 7(高考浙江卷文科第 17 题)设数列 na的前n项和为nS.已知24S ，121nnaS，*nN.（1）求通项公式na；（2）求数列2nan的前n项和.解解(1)可得21221421Saaaa，解得1213aa.由121nnaS，121nnaS2n，可得 1121212nnnnnaaSSa，13nnaa2n.又因为213aa，所以可得数列 na的通项公式为13nna.(2)得 bn|ann2|=|3n1n2|，所以 b12，b21.当 n3 时，由于 3n1n2，所以 bn3n1n2(n3).设数列bn的前 n 项和为 Tn，得 T12，T23.当 n3 时，可得Tn39（13n2）13（n7） （n2）23nn25n112进而可得 Tn2，n1，3nn25n112，n2，nN*.题题 8(高考四川卷文科第 19 题)已知数列 na的首项为1，nS为数列 na的前n项和，11nnSqS，其中0q ，*nN.（1）若2a，3a，23+aa成等差数列，求数列 na的通项公式；（2）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且22e ，求22212neee.解解(1)由 Sn1qSn1，Sn2qSn11(nN*)，两式相减得 an2qan1(nN*).又由 S2qS11，11a ，可得 a2qa1，所以 an+1qan(nN*).得数列an是首项为 1，公比为 q 的等比数列，所以 anqn1.再由 a2，a3，a2a3成等差数列，可得 2a3a2a2a3即 a32a2，得 q2.所以数列an的通项公式是 an2n1(2) 在 (1) 的 解 答 中 已 得 an qn1， 所 以 双 曲 线 x2y2a2n 1 的 离 心 率22(1)11nnneaq-=+=+由 e2 1q22，解得 q 3，所以e21e22e2n(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nq2n1q21n12(3n1)5错位相减法错位相减法题题 9(高考山东卷理科第 18 题即文科第 19 题)已知数列 na的前n项和238nSnn， nb是等差数列，且1.nnnabb（1）求数列 nb的通项公式；（2）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nC的前n项和nT.解解(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5.又因为 a1S111，所以 an6n5(nN*).设等差数列bn的公差为 d.可得a1b1b2，a2b2b3，即112b1d172b13d，解得b14，d3，所以 bn3n1.(2)由(1)的解答，可得 cn（6n6）n1（3n3）n3(n1)2n1.又由 Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2把它们相减，得Tn322223242n1(n1)2n2344（12n）12(n1)2n2 3n2n2所以 Tn3n2n2.6待定系数法待定系数法题题 10数列3) 12(nn的前n项和nS解解设等差数列ma的公差为d，等比数列mb的公比为(1)q q ，得111(1) (1,2, )mmmabamdbqmn先用错位相减法求数列mmab的前n项和nS：21111112111111211112111111()(2 )(1) ()(2) (1) (1)(1) ()(1) (1nnnnnnnnnnnSb aad qad qand qqSba qad qand qand qq Sb adqdqdqand qbddqdqdqand qadddqbanq11) nd qad111111nnqddSdnadqadbqq所以有下面的结论成立：若,mmab分别是等差数列、等比数列(其公比1q)，且11,a b均是与n无关的常数，则数列mmab的前n项和bqbanSnn)(，其中, a b是与n无关的常数由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设() 3nnSanbb(其中, a b是常数)可 得123,32730SS， 所 以3()39(2)30abbabb， 解 得33ab ， 所 以33) 1(1nnnS题题 11求和1221 2 +2 2+3 2+(1) 2 +2nnnnSnn 解解得012111111+2+3+22222nnnSn用待定系数法可求出该等式的右边为1242nn，所以2224nnSn七、求导法、积分法七、求导法、积分法题题 12(1)求证：) 1(111132xxxxxxxnn；(2)求证：) 1() 1(1 1) 1(321212xxxnxnxxxnn；(3)求数列(21) 3nn的前n项和nS解解(1)当0 x时，显然成立当0 x时，由等比数列的前n项和公式知，欲证结论也成立(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立(3)1(21) 3 =6(3)3nnnnn在(2)的结论中令3x，得数列13nn的前n项和为413) 12(nn；又因为数列 3n的前n项和为2331n所以数列(21) 3nn的前n项和为33) 1(233413) 12(611nnnnnnS题题 13(高考江苏卷第 23 题)请先阅读：在等式xxx( 1cos22cos2R)的两边对 x 求导，得) 1cos2()2(cos2xx由求导法则，得)sin(cos42)2sin(xxx，化简后得等式xxxcossin22sin(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式xxCxCxCCxnnnnnnn()1 (2210R，整数)2n证明：nkkknnxkCxn211 1)1(2)对于整数3n，求证：(i)0) 1(1nkknkkC；(ii)0) 1(12nkknkCk；(iii)1121110nCknnkkn答案：(1)在已知等式两边对x求导后移项可得欲证(2) (i)在结论(1)中令1x可证(ii)由已知等式两边对x求导后再求导，又令1x，得0) 1() 1(22nkkknCkk，即0)() 1(12nkknkCkk，再由结论(i)得结论(ii)成立(iii)在已知等式两边在0,1上对x积分后可得欲证
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