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高考数学精品复习资料 2019.5单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A.B.C.D.34.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1B.C.D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2导学号372705969.(20xx河南洛阳二模)设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+)导学号3727059710.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.B.C.3D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42导学号3727059812.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.导学号37270599二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若椭圆=1的离心率e=,则k的值为. 14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为. 15.(20xx河南洛阳二模)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为.导学号37270600 16.若方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1<t<4;若C为双曲线,则t>4或t<1;曲线C不可能是圆;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A (0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.导学号3727060118.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.导学号3727060219.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.导学号3727060320.(12分)(20xx河南洛阳月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.导学号3727060421.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.导学号3727060522.(12分)(20xx四川,理20)已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|·|PB|,并求的值.导学号37270606参考答案单元质检九解析几何1.D解析 设所求直线方程为3x-4y+m=0,由=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.C解析 过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.3.C解析 由条件知,c,所以.所以4b2=5a2.因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e=.4.A解析 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d=1.5.D解析 由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析 当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=-.综上,所求直线方程为x=0或y=-x+3.7.B解析 依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,从而易得cos,即=45°,所以ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析 由条件知=1+=1+,当a>b时,则,所以e1<e2.当a<b时,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析 双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<AFB<90°,所以<kFB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.10.A解析 由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).又双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析 因为双曲线的离心率为2,所以e2=4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故xA=xB=p,又因为|AF|=xA+p+=7,所以p=6.12.A解析 如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则,即b1.所以e=.又0<e<1,所以0<e.故选A.13.4或-解析 若焦点在x轴上,即k+8>9,则a2=k+8,b2=9,e2=,解得k=4.若焦点在y轴上,即0<k+8<9,则a2=9,b2=k+8,e2=,解得k=-.综上,k=4或k=-.14.8解析 设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.又因为圆面积为36,所以半径为6,所以p2=36,所以p=8.15.2解析 圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1.由圆的性质知:S四边形PACB=2SPBC,又因为四边形PACB的最小面积是2,所以SPBC的最小值为S=1=rd(d是切线长),所以d最小值=2.由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得,又因为k>0,所以k=2.16.解析 若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-tt-1,解得1<t<4且t,所以不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以错误.17.解 (1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-12+1,解得a的取值范围为.18.解 (1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为,整理得(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|=2,令t=x0+24,8,则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解 (1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x2=-1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=-2.由四边形ABDC为梯形,得ABCD或ACBD.若ABCD,则k=-2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若ACBD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解 (1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.(2)椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,则,又a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|=.因为,所以|=3|,即3×=.所以b2=1+(1,9,即b(1,3.所以b的取值范围是(1,3.21.解 (1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b,因为c=2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m=c.将点A代入双曲线方程,得=1,化简得c2b2-c2a2=a2b2,又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0,两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2,因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).22.(1)解 由已知, a=b,则椭圆E的方程为=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为=1,点T坐标为(2,1).(2)证明 由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m0),由方程组可得所以点P的坐标为,|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2),由>0,解得-<m<.由得x1+x2=-,x1x2=.所以|PA|=,同理|PB|=.所以|PA|·|PB|=m2.故存在常数=,使得|PT|2=|PA|·|PB|.
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