高三数学 第22练 利用导数研究函数零点问题练习

高考数学精品复习资料 2019.5第22练 利用导数研究函数零点问题训练目标(1)利用导数处理与函数零点有关的题型；(2)解题步骤的规范训练训练题型(1)利用导数讨论零点的个数；(2)利用导数证明零点的唯一性；(3)根据零点个数借助导数求参数范围解题策略(1)注重数形结合；(2)借助零点存在性定理处理零点的存在性问题；结合单调性处理零点的唯一性问题；(3)注意参变量分离.1.设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点2函数f(x)x3kx，其中实数k为常数(1)当k4时，求函数的单调区间；(2)若曲线yf(x)与直线yk只有一个交点，求实数k的取值范围3(20xx贵阳调研)已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围4.设函数f(x)(xa)ln x，g(x). 已知曲线yf(x) 在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由5已知函数f(x)(xa)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，f(x)在(0，a)上有一个零点，又f(x)在(，)上递增，f(x)在(0，a)上仅有一个零点，f(x)在(，)上仅有一个零点2解(1)因为f(x)x2k，当k4时，f(x)x24，令f(x)x240，所以x12，x22.f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)?极大值?极小值?所以f(x)的单调递增区间是(，2)，(2，)；单调递减区间是(2,2)(2)令g(x)f(x)k，由题意知，g(x)只有一个零点因为g(x)f(x)x2k.当k0时，g(x)x3，所以g(x)只有一个零点0.当k0对xR恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点当k0时，令g(x)f(x)x2k0，解得x1或x2.g(x)，g(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)g(x)00g(x)?极大值?极小值?g(x)有且仅有一个零点等价于g()0，即kk0，解得0k.综上所述，k的取值范围是k.3解(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)?极小值?所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)4解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以当k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根5解(1)因为f(x)(xa)ex，xR，所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0，得xa1.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)?极小值?故f(x)的单调递减区间为(，a1)，单调递增区间为(a1，)(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点理由如下：由g(x)f(xa)x20，得方程xexax2，显然x0为此方程的一个实数解，所以x0是函数g(x)的一个零点当x0时，方程可化简为exax.设函数F(x)exax，则F(x)exa1，令F(x)0，得xa.当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如下：x(，a)a(a，)F(x)0F(x)?极小值?即F(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(，a)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因为a0，所以对于任意xR，F(x)0，因此方程exax无实数解所以当x0时，函数g(x)不存在零点综上，函数g(x)有且仅有一个零点