高三数学复习 第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

高考数学精品复习资料 2019.5第6节正弦定理和余弦定理及其应用 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、5、8、9、11与三角形面积有关的问题2、4判断三角形的形状3、10实际应用问题7、15综合应用6、12、13、14、16A组一、选择题1.(20xx广东湛江十校联考)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于(A)(A)22(B)23(C)6-2(D)4解析:A=180°-30°-15°=135°,由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,即a=22.故选A.2.(20xx潮州二模)在ABC中,A=3,AB=2,且ABC的面积为32,则边AC的长为(A)(A)1(B)3(C)2(D)2解析:SABC=12AB·AC·sin A=12×2·AC·sin3=32,AC=1.故选A.3.(20xx湛江高考测试(二)若三条线段的长分别为3,5,7,则用这三条线段(C)(A)能组成直角三角形(B)能组成锐角三角形(C)能组成钝角三角形(D)不能组成三角形解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为7的边所对的内角的余弦等于32+52-722×3×5<0,因此,该内角是钝角.该三角形是钝角三角形,故选C.4.(20xx汕头市高三质量测评(二)在ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知c=2,C=3,ABC的面积SABC=3,则ABC的周长为(A)(A)6(B)5(C)4(D)4+23解析:依题意得12absin C=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4(a+b)2-3ab=4(a+b)2=16a+b=4a+b+c=6,即ABC的周长是6,故选A.5.(20xx汕头市高三质量测评(一)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinCsinA=2,b2-a2=32ac,则cos B等于(C)(A)12(B)13(C)14(D)15解析:ca=sinCsinA=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得b2=c2+a2-2accos B,32a×2a=4a2-4a2cos B,即cos B=14.6.(20xx珠海一模)直线l1与l2相交于点A,点B、C分别在直线l1与l2上,若AB与AC的夹角为60°,且|AB|=2,|AC|=4,则|BC|等于(B)(A)22(B)23(C)26(D)27解析:由题意,ABC中,A=60°,AB=2,AC=4.由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12,BC=23.故选B.二、填空题7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要元. 解析:三角形空地面积S=12×123×25×sin 120°=225(m2),故共需225×120=27000(元).答案:270008.(高考北京卷)在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b=. 解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14),即15b-60=0,得b=4.答案:49.(20xx潮州高三期末质检)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,则cos A=. 解析:由(2b-c)cos A=acos C,得2bcos A=ccos A+acos C,2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,故2sin Bcos A=sin(A+C),又在ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=12.答案:1210.在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则ABC的形状为. 解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0或sin A=sin B.0<A、B<,A=2或A=B,ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题11.(20xx广东六校第二次质检)如图,四边形ABCD中,AB=5,AD=3,cos A=45,BCD是等边三角形.(1)求四边形ABCD的面积;(2)求sin ABD.解:(1)由题意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=10,cos A=45,sin A=35.四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=12×AB×AD×sin BAD+12×BD2×sin DBC=9+532.(2)由正弦定理得ADsinABD=BDsinA,sin ABD=ADBD×sin A=91050.12.(20xx深圳市二调)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大小;(2)求sin(B+3)的值.解:(1)由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,0<C<,C=23.(2)由正弦定理可得bsinB=csinC,sin B=bsinCc=5sin 237=5314,C=23,B为锐角,cos B=1-sin2B=1-(5314) 2=1114,sin(B+3)=sin Bcos 3+cos Bsin 3=5314×12+1114×32=437.B组13.(高考新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(D)(A)10(B)9(C)8(D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=125,又因为ABC为锐角三角形,所以cos A=15.在ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故选D.14.在ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,则B=. 解析:由ab,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A0,故cos B=12,因此B=3.答案:315.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B、D的距离.解:(1)如图所示,在ADC中, DAC=30°,ADC=60°-DAC=30°,CD=AC=0.1 km,又BCD=180°-60°-60°=60°,CED=90°,CB是CAD底边AD的中垂线,BD=BA.(2)在ABC中,ABC=75°-60°=15°,由正弦定理得ABsinBCA=ACsinABC,AB=0.1·sin60°sin15°=32+620(km),BD=32+620(km).故B、D间的距离是32+620km.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面积S.(1)证明:在ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin BsinAcosA+sinCcosC=sinAcosA·sinCcosC,sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos B=a2+c2-b22ac=12+22-22×1×2=34,0<B<,sin B=1-cos2B=1-342=74.ABC的面积S=12acsin B=12×1×2×74=74.