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人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(六)球的体积和表面积(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知圆锥SO的底面直径和高相等且都等于球O的直径,那么球的体积V1与圆锥的体积V2的关系是()A.V1=V2B.V1=2V2C.V1=2V2D.V1=3V2【解析】选C.设球O的半径r,则由题意得圆锥SO的底面直径和高都是2r,所以V1=43×r3,V2=13×r2·2r=23×r3,所以V1=2V2.2.两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为()A.2B.3C.2D.1【解析】选C.设两球的半径分别为R,r(R>r),则4R2-4r2=48,2R+2r=12,即R2-r2=12,R+r=6.两式相除得R-r=2.3.(2015·全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为12×4r2+r×2r+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.4.(2015·临沂高一检测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.4B.8C.12D.20【解析】选D.由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,则该几何体的表面积为4×12+2×22+4×2=20.5.(2015·重庆高二检测)三个球的半径之比为123,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A.1倍B.2倍C.95倍D.74倍【解析】选C.由已知,可设最小的球的半径为r,则另两个球的半径为2r,3r,所以各球的表面积分别为4r2,16r2,36r2.所以36r24r2+16r2=3620=95(倍).二、填空题(每小题5分,共15分)6.若一个球的表面积与其体积在数值上相等,则此球的半径为.【解析】设此球的半径为R,则4R2=43R3,R=3.答案:37.(2015·上海高一检测)在底面直径为6的圆柱形容器中,放入一个半径为2的冰球,当冰球全部溶化后,容器中液面的高度为.(相同质量的冰与水的体积比为109)【解析】半径为2的冰球的体积为43×23=323,水的体积为485,设冰球全部溶化后,容器中液面的高度为h,则×32h=485,所以h=1615.答案:16158.两个球的半径相差1,表面积之差为28,则它们的体积和为.【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则R-r=1,4R2-4r2=28,所以R=4,r=3,所以体积和为43R3+43r3=3643.答案:3643【拓展延伸】计算球的表面积和体积的关键及常见题型计算球的表面积和体积的关键是求球的半径.常见题型有:(1)已知球的半径求其表面积和体积.(2)已知体积和表面积求其半径.三、解答题(每小题10分,共20分)9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.【解析】该组合体的表面积S=4r2+2rl=4×12+2×1×3=10,该组合体的体积V=43r3+r2l=43×13+×12×3=133.【补偿训练】一种空心钢球的质量是732g,外径是5cm,求它的内径.(钢密度9g/cm3)【解析】利用“体积=质量密度”及球的体积公式V球=43R3,设球的内径为r,由已知得球的体积V=7329=2443(cm3).由V=43(53-r3)得2443=43(53-r3),解得r=4cm.10.(2015·昆明高一检测)若一个底面边长为62,侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.【解题指南】明确该六棱柱中最长的体对角线与外接球直径的关系是解答本题的关键.【解析】在底面正六边形ABCDEF中,连接BE,AD交于O,连接BE1,则BE=2OE=2DE,所以BE=6,在RtBEE1中,BE1=BE2+E1E2=23,所以2R=23,则R=3,所以球的体积V球=43R3=43,球的表面积S球=4R2=12.【拓展延伸】解答球的组合体问题的关键(1)根据组成形式确定球心位置和球的半径.(2)利用几何体的结构特征作出关键截面,将空间问题转化为平面问题.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·荆州高一检测)用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为,则球的体积为()A.323B.83C.82D.823【解析】选D.设球的半径为R,截面圆的半径为r,由题意可得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=12+12=2,球的体积为43R3=823.【补偿训练】平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为2,则此球的体积为()A.6B.43C.46D.63【解析】选B.设球的半径为R,由球的截面性质得R=(2)2+12=3,所以球的体积V=43R3=43.【延伸拓展】球体的截面的特点(1)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆,它的三视图也都是圆.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.2.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5,则它的外接球的表面积是()A.202B.252C.50D.200【解题指南】此三棱锥可视为一个长方体的一个角,因此可以将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球.【解析】选C.因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示),而且此长方体的外接球就是三棱锥的外接球.设三棱锥的外接球半径为r,则有2r2=32+42+52=50,即4r2=50,它的外接球的表面积是S=4r2=50.二、填空题(每小题5分,共10分)3.一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是cm3.【解析】由三视图知,几何体是一个由三部分组成的组合体,上面是一个半球,半球的半径是1,所以半球的体积是12×43××13=23,下面是半个圆柱和一个四棱柱,圆柱的底面半径是1,高是2,所以半个圆柱的体积是12××12×2=,四棱柱的底面是一个边长分别是1和2的矩形,高是2,所以四棱柱的体积是1×2×2=4,所以空间组合体的体积是23+4=53+4(cm3).答案:53+4【误区警示】解答本题易出现根据三视图将此组合体的下面判断为一个圆柱或一个四棱柱的错误.4.(2015·温州高二检测)已知两个正四棱锥有公共底面,且底面边长为4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上若这两个正四棱锥的体积之比为12,则该球的表面积为.【解析】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为12,所以两个正四棱锥的高的比也为12,设两个棱锥的高分别为x,2x,球的半径为R,则x+2x=3x=2R,即R=3x2,球心到公共底面距离是x2,又因为底面边长为4,所以R2=3x22=x22+(22)2,解得x=2,所以R=3,该球的表面积S=4R2=36.答案:36三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·青岛高一检测)如图是一个几何体的三视图(单位:cm),试画出它的直观图,并计算这个几何体的体积与表面积.【解析】这个几何体的直观图如图所示.因为V长方体=10×8×15=1200(cm3),又V半球=12×43R3=12×43×523=12512(cm3),所以所求几何体的体积为V=V长方体+V半球=1200+12512(cm3).因为S长方体全=2×(10×8+8×15+10×15)=700(cm2),S半球=12×4×522=252,S半球底=×522=254,故所求几何体的表面积S表面积=S长方体全+S半球-S半球底=700+254(cm2).6.如图(单位:cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.【解析】由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面.S半球=8cm2,S圆台侧=35cm2,S圆台底=25cm2.故所求几何体的表面积为68(cm2).V圆台=13××22+×22××52+×52×4=52(cm3),V半球=43×23×12=163(cm3).所以,旋转体的体积为V圆台-V半球=52-163=1403(cm3).关闭Word文档返回原板块
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