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人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(二十四)圆的标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为()A.(-1,5),3B.(1,-5),3C.(-1,5),3D.(1,-5),3【解析】选B.由圆的标准方程可知,圆心为(1,-5),半径为3.【补偿训练】以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x-2)2+(y-1)2=16【解析】选C.由题意知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2【解析】选D.半径r=12+12=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.(2015宁波高一检测)点12,32与圆x2+y2=12的位置关系是()A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不能确定【解析】选C.将点的坐标代入圆方程,得122+322=112,所以点在圆外.【补偿训练】已知以点A(2,-3)为圆心,半径长等于5的圆,则点M(5,-7)与圆的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法判断【解析】选B.点M(5,-7)到圆心A(2,-3)的距离为5,恰好等于半径长,故点在圆上.4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆心坐标(0,b),则由(0-1)2+(b-2)2=1解得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1.【延伸探究】若将本题中的“过点(1,2)”改为“过点(-1,2)”,其他不变,又如何求解?【解析】设圆心坐标(0,b),则由(0+1)2+(b-2)2=1解得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1.5.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选A.圆心(-2,1)关于原点的对称点为C(2,-1),半径相等为r=1,所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是.【解析】由圆的标准方程可知,其半径为13,周长为213.答案:2137.(2015苏州高一检测)已知点P(1,-5),则该点与圆x2+y2=25的位置关系是.【解析】由于12+(-5)2=2625,故点P(1,-5)在圆的外部.答案:在圆的外部【补偿训练】若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是.【解析】依题意,得1+45.答案:m58.(2015萍乡高一检测)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程是.【解题指南】先将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,从而求出定点的坐标,又知该圆的半径为5,从而写出圆的标准方程.【解析】将直线方程整理为:(x+1)a-(x+y-1)=0,不论a取何实数,当x+1=0,即x=-1时,则有x+y-1=0,即-1+y-1=0,所以y=2,故直线(a-1)x-y+a+1=0不论a为何实数,恒过定点C(-1,2),则以C(-1,2)为圆心,5为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=5三、解答题(每小题10分,共20分)9.求圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0的对称图形的方程.【解题指南】利用中点坐标公式以及斜率公式,先求出圆(x+2)2+(y-6)2=1的圆心关于直线对称的对称点的坐标,圆的半径不变,写出圆的标准方程.【解析】设所求圆的圆心坐标为(a,b),则有b-6a+234=-1,3(a-2)2-4(b+6)2+5=0,解得a=4,b=-2.故圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.【补偿训练】圆(x-3)2+(y-1)2=2关于原点O(0,0)对称的圆的方程为.【解题指南】结合图形,关于原点对称的圆的圆心关于原点对称,半径不变,由此求对称圆的方程.【解析】圆(x-3)2+(y-1)2=2的圆心为(3,1),其关于原点对称点坐标是(-3,-1),圆的半径为2,故所求对称圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=2.答案:(x+3)2+(y+1)2=210.(2015顺德高一检测)求下列圆的方程:(1)已知点A(-4,-5),B(6,-1),以线段AB为直径的圆的方程.(2)过两点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的标准方程.【解析】(1)AB的中点坐标即为圆心坐标C(1,-3),又圆的半径r=AC=12AB=12(-4-6)2+(-5+1)2=12116=29.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.(2)直线CD的斜率kCD=3-11+1=1,线段CD中点E的坐标为(0,2),故线段CD的垂直平分线的方程为y-2=-x,即y=-x+2,令y=0,得x=2,即圆心为(2,0).由两点间的距离公式,得r=(2-1)2+(0-3)2=10.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=10.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若圆心在x轴上,半径为5的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的方程是()A.(x-5)2+y2=5B.(x+5)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5【解析】选D.如图所示,设圆心C(a,0),则圆心C到直线x+2y=0的距离为|a+20|12+22=5,解得a=-5,a=5(舍去),所以圆心是(-5,0).即圆C的方程是(x+5)2+y2=5.【补偿训练】已知A(4,3),B(1,6),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.x+522+y+922=92B.x-522+y-922=92C.x+922+y+522=92D.x-922+y-522=92【解析】选B.AB的中点为52,92,|AB|=(4-1)2+(3-6)2=9+9=32,所以圆的半径为r=322,则所求的圆的方程为x-522+y-922=92.2.(2015绍兴高一检测)方程y=36-x2表示的曲线是()A.一个圆B.两条射线C.半个圆D.一条射线【解析】选C.由方程y=36-x2可化为x2+y2=36(y0),所以方程y=36-x2表示圆x2+y2=36位于x轴及其上方的部分是半个圆.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015太原高一检测)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.【解题指南】依据条件确定圆心纵坐标为1,又已知半径是1,通过与直线4x-3y=0相切,圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标,写出圆的标准方程.【解析】因为圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,所以半径是1,圆心的纵坐标也是1,设圆心坐标为(a,1),则1=|4a-3|5,又a0,所以a=2,所以该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=1【补偿训练】圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是.【解析】由x-y+2=0,2x+y-8=0,可得x=2,y=4,即圆心为(2,4).又r=(2-0)2+(4-0)2=25,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=204.(2015淮南高一检测)圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则d的取值范围是.【解析】因为点P在圆C内部,所以(x0-1)2+(y0+2)24,所以0d4.答案:0dd2,即d25,故0d0).(1)若点M(6,9)在圆上,求半径a.(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.【解析】(1)因为点M(6,9)在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a0,所以a=10.(2)因为PC=(3-5)2+(3-6)2=13,QC=(5-5)2+(3-6)2=3,PCQC,故点P在圆外,点Q在圆内,所以3a13.6.已知x,y满足(x-1)2+y2=1,求S=x2+y2+2x-2y+2的最小值.【解题指南】把S中被开方数配方,等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】因为S=x2+y2+2x-2y+2=(x+1)2+(y-1)2,又点(x,y)在圆(x-1)2+y2=1上运动,即S表示圆上的动点到定点(-1,1)的距离.如图所示:显然当定点(-1,1)和圆心(1,0)共线时取到最值,且最小值为(1+1)2+(0-1)2-1=5-1.所以S=x2+y2+2x-2y+2的最小值为5-1.【补偿训练】圆过点A(1,-2),B(-1,4),求(1)周长最小的圆的方程.(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.【解析】(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12|AB|=10.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)由于AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=13x.即x-3y+3=0,由x-3y+3=0,2x-y-4=0,解得x=3,y=2,即圆心坐标是C(3,2).又因为r=AC=(3-1)2+(2+2)2=25.所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.【一题多解】(2)设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,则(1-a)2+(-2-b)2=r2,(-1-a)2+(4-b)2=r2,2a-b-4=0,解得a=3,b=2,r2=20.所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.关闭Word文档返回原板块
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