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人教版高中数学必修精品教学资料 章末综合测评(二) 平面向量 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 (2015 全国卷)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC(4,3),则向量BC( ) A(7,4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) 【解析】 法一：设 C(x,y), 则AC(x,y1)(4,3), 所以x4，y2，从而BC(4,2)(3,2)(7,4)故选 A 法二：AB(3,2)(0,1)(3,1), BCACAB(4,3)(3,1)(7,4) 故选 A 【答案】 A 2(2015 福建高考)设 a(1,2),b(1,1),cakb.若 bc,则实数 k 的值等于( ) A32 B53 C53 D32 【解析】 cakb(1k,2k),又 bc,所以 1(1k)1(2k)0,解得 k32. 【答案】 A 3(2015 山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC60,则BDCD( ) A32a2 B34a2 C34a2 D32a2 【解析】 由已知条件得BDCDBDBA 3aacos 3032a2,故选 D 【答案】 D 4(2015 陕西高考)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( ) A|a b|a|b| B|ab|a|b| C(ab)2|ab|2 D(ab) (ab)a2b2 【解析】 根据 a b|a|b|cos ,又 cos 1,知|a b|a|b|,A 恒成立当向量 a 和 b 方向不相同时,|ab|a|b|,B 不恒成立根据|ab|2a22a bb2(ab)2,C 恒成立根据向量的运算性质得(ab) (ab)a2b2,D 恒成立 【答案】 B 5(2015 重庆高考)已知非零向量 a,b 满足|b|4|a|,且 a(2ab),则 a 与 b 的夹角为( ) A3 B2 C23 D56 【解析】 a(2ab),a (2ab)0, 2|a|2a b0, 即 2|a|2|a|b|cosa,b0. |b|4|a|,2|a|24|a|2cosa,b0, cosa,b12,a,b23. 【答案】 C 6(2015 安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB2a,AC2ab,则下列结论正确的是( ) A|b|1 Bab Ca b1 D(4ab)BC 【解析】 在ABC 中,由BCACAB2ab2ab,得|b|2.又|a|1,所以 a b|a|b|cos 1201,所以(4ab) BC(4ab) b4a b|b|24(1)40,所以(4ab)BC,故选 D 【答案】 D 7(2016 锦州高一检测)已知向量 a(2,1),ab10,|ab| 50,则|b|( ) A0 B2 C5 D25 【解析】 因为 a(2,1),则有|a| 5,又 a b10, 又由|ab| 50, |a|22a b|b|250, 即 5210|b|250, 所以|b|5. 【答案】 C 8.已知 AD、 BE 分别为ABC 的边 BC、 AC 上的中线,设ADa,BEb,则BC等于( ) 图 1 【导学号：00680065】 A43a23b B23a43b C23a43b D23a43b 【解析】 BC2BD223BE13AD 43BE23AD 23a43b. 【答案】 B 9(2016 景德镇期末)设非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|,abc,则向量 a、b 的夹角为( ) A150 B120 C60 D30 【解析】 设向量 a、b 夹角为 , |c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos , 则 cos 12, 又 0,180,120.故选 B 【答案】 B 10(2016 西城高一检测)在矩形 ABCD 中,AB 3,BC1,E 是 CD 上一点,且AEAB1,则AEAC的值为( ) A3 B2 C32 D33 【解析】 设AE与AB的夹角为 ,则AE与AD的夹角为2, 又ADBC,故有AE与BC夹角为2,如图： AEAB|AE|AB|cos 3|AE|cos 1, |AE|cos 33, AEBC|AE|cos2 |AE|sin 1, AEACAE(ABBC)AEABAEBC112. 【答案】 B 11(2016 济南高一检测)已知向量OA(2,2),OB(4,1),在 x 轴上有一点 P,使APBP有最小值,则 P 点坐标为( ) A(3,0) B(3,0) C(2,0) D(4,0) 【解析】 设 P(x,0),则有 APBP(x2,02) (x4,01) (x2)(x4)2 x26x10 (x3)21, 当 x3 时,(APBP)min1, 此时 P 点坐标为(3,0) 【答案】 B 12 (2014 天津高考)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BEBC,DFDC若AEAF1,CECF23,则 ( ) A12 B23 C56 D712 【解析】 如图：BAD120,|AB|AD|2. AFAE(ADDF)(ABBE) (ADDC)(ABBC) (ADAB)(ABAD) AD2AB2(1)ADAB 4()(1)4cos 120 4()2(1)1, 即 24()30, 由CECF(CBBE)(CDDF)(1) (1) BCDC 2(1)(1)23, 所以有 23,代入得 2234()30, 解得 56. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中横线上) 13(2014 湖北高考)若向量OA(1,3),|OA|OB|,OAOB0,则|AB|_. 【解析】 因为OA(1,3), 又|OA| 10|OB|, 又OAOB0, 所以AOB90,所以AOB 为等腰直角三角形,且|AB| 2|OA|2 5. 【答案】 2 5 14(2015 江苏高考)已知向量 a(2,1),b(1,2),若 manb(9,8)(m,nR),则 mn 的值为_ 【解析】 manb(2mn,m2n) (9,8), 2mn9，m2n8，m2，n5，mn253. 【答案】 3 15(2015 湖北高考)已知向量OAAB,|OA|3,则OAOB_ 【解析】 因为OAAB,所以OAABOA(OBOA)OAOBOA20,所以OAOBOA2|OA|29,即OAOB9. 【答案】 9 16(2015 北京高考)在ABC 中,点 M,N 满足AM2MC,BNNC.若MNxAByAC,则 x_；y_ 【解析】 AM2MC,AM23AC. BNNC,AN12(ABAC), MNANAM12(ABAC)23AC 12AB16AC. 又MNxAByAC,x12,y16. 【答案】 12 16 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)不共线向量 a,b 的夹角为小于 120的角,且|a|1,|b|2,已知向量 ca2b,求|c|的取值范围 【解】 |c|2|a2b|2|a|24a b4|b|2178cos (其中 为 a 与 b 的夹角) 因为 0120, 所以12cos 1, 所以 13|c|0,kR) (1)求 a b 关于 k 的解析式 f(k)； (2)若 ab,求实数 k 的值； (3)求向量 a 与 b 夹角的最大值 【解】 (1)由已知|kab| 3|akb|, 有|kab|2( 3|akb|)2, k2a22ka bb23a26ka b3k2b2. 由|a|b|1,得 8ka b2k22, 所以 a bk214k,即 f(k)k214k(k0) (2)因为 ab,k0,所以 a bk214k0,则 a 与 b 同向 因为|a|b|1,所以 a b1, 即k214k1,整理得 k24k10, 所以 k2 3, 所以当 k2 3时,ab. (3)设 a,b 的夹角为 ,则 cos ab|a|b|a b k214k14k1k 14k1k22 . 当 k1k,即 k1 时,cos 取最小值12,又 0, 所以 3,即向量 a 与 b 夹角的最大值为3.
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