【大师特稿】高考数学理热点题型：函数与导数含答案

高考数学精品复习资料 2019.5 函数与导数函数与导数 热点一 利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例 1】已知函数 f(x)ln xa(1x). (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求实数 a 的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa. 若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增. 若 a0，则当 x0，1a时，f(x)0； 当 x1a， 时，f(x)0， 所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a， 上单调递减. 综上，知当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a， 上单调递减. (2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(0，)上无最大值； 当 a0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1aln 1aa11aln aa1. 因此 f1a2a2 等价于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增， g(1)0. 于是，当 0a1 时，g(a)0； 当 a1 时，g(a)0. 因此，实数 a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln aa10，即(x22)ex0，因为 ex0， 所以x220，解得 2x0，所以x2(a2)xa0 对 x(1，1)都成立， 即 ax22xx1（x1）21x1 (x1)1x1对 x(1，1)都成立. 令 y(x1)1x1，则 y11（x1）20. 所以 y(x1)1x1在(1，1)上单调递增， 所以 y0 时，解不等式 f(x)0； (2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解. 解 (1)因为 ex0，(ax2x)ex0. ax2x0.又因为 a0， 所以不等式化为 xx1a0. 所以不等式 f(x)0 的解集为1a，0 . (2)当 a0 时，方程即为 xexx2， 由于 ex0，所以 x0 不是方程的解， 所以原方程等价于 ex2x10. 令 h(x)ex2x1， 因为 h(x)ex2x20 对于 x(，0)(0，)恒成立， 所以 h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数， 又 h(1)e30，h(3)e3130， 所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根且分别在区间1，2和3，2上，所以整数 t 的所有值为3，1. 热点三 利用导数研究不等式问题 导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题. 【例 3】设函数 f(x)e2xaln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数； (2)证明：当 a0 时，f(x)2aaln2a. (1)解 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2xax(x0). 当 a0 时，f(x)0，f(x)没有零点. 当 a0 时，设 u(x)e2x，v(x)ax， 因为 u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)ax在(0，)上单调递增，所以 f(x)在(0，)上单调递增. 又 f(a)0，当 b 满足 0ba4且 b14时，f(b)0(讨论 a1 或 a1 来检验)， 故当 a0 时，f(x)存在唯一零点. (2)证明 由(1)，可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0，x0)时，f(x)0； 当 x(x0，)时，f(x)0. 故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 所以当 xx0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0) 由于 2e2x0ax00， 所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a. 故当 a0 时，f(x)2aaln2a. 【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板 第一步：求函数的定义域； 第二步：分类讨论函数的单调性、极值； 第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数. 2.证明不等式的答题模板 第一步：根据不等式合理构造函数； 第二步：求函数的最值； 第三步：根据最值证明不等式. 【对点训练】 已知函数 f(x)axln x(aR). (1)若 a2，求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程； (2)求 f(x)的单调区间； (3)设 g(x)x22x2，若对任意 x1(0，)，均存在 x20，1使得 f(x1)0)，所以 f(1)213，所以斜率 k3.又切点为(1，2)，所以切线方程为 y23(x1)，即 3xy10， 故曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 3xy10. (2)f(x)a1xax1x(x0)， 当 a0 时，由于 x0，故 ax10，f(x)0，所以 f(x)的单调增区间为(0，). 当 a0，在区间1a， 上，f(x)0，所以函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a， . (3)由已知得所求可转化为 f(x)maxg(x)max， g(x)(x1)21，x0，1， 所以 g(x)max2， 由(2)知，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增， 值域为 R，故不符合题意. 当 a1ln(a)，解得 a1e3.