【大师特稿】高考数学答题模板：第2讲常考的数列综合问题含解析

高考数学精品复习资料 2019.5第2讲常考的数列综合问题数列通项公式的求解问题例2设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式审题破题(1)可令n1，n2得关系式联立求a1；(2)由已知可得n2时，2Sn1an2n1，两式相减解(1)当n1时，2a1a241a23，当n2时，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，当n2时，有2Sn1an2n1，两式相减得an13an2n，则1，即2.又23，知是首项为3，公比为的等比数列，23n1，即an3n2n，n1时也适合此式，an3n2n.构建答题模板第一步：令n1，n2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系联立求a1；第二步：令n2得关系式后，利用作差得an1，an的关系；第三步：构造等比数列，并求出通项；第四步：求出数列an的通项对点训练2已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出an的通项公式(1)解在Sn2an(1)n，n1中分别令n1,2,3，得解得(2)证明由Sn2an(1)n，n1，得Sn12an1(1)n1，n2.两式相减得an2an12(1)n，n2.an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n，an(1)n2(n2)故数列是以a1为首项，公比为2的等比数列所以an(1)n2n1，an2n1(1)n.数列求和问题例3已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.审题破题(1)由Sn的最大值，可据二次函数性质求k，因而确定an；(2)利用错位相减法求和解(1)当nkN*时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)设bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.构建答题模板第一步：利用条件求数列bn的通项公式；第二步：写出Tnb1b2bn的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易忽视对n1，n2时的讨论.对点训练3已知点是函数f(x)ax (a0，且a1)的图象上的一点等比数列an的前n项和为f(n)c.数列bn (bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1 (n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？解(1)f(1)a，f(x)x.由题意知，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又数列an是等比数列，a1c，c1.又公比q，ann12n (nN*)SnSn1()() (n2)又bn0，0，1.数列构成一个首项为1、公差为1的等差数列，1(n1)1n，即Snn2.当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，b11也适合此通项公式bn2n1 (nN*)(2)Tn.由Tn，得n，满足Tn的最小正整数n的值为101.