【大师特稿】高考数学理热点题型：三角函数与解三角形

高考数学精品复习资料 2019.5 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 热点一 三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数 ysin x，ycos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为 yAsin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解. 【例 1】已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23上的最小值. (1)解 因为 f(x)sin x 3cos x 3. 2sinx3 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2)解 因为 0 x23， 所以3x3. 当 x3，即 x23时，f(x)取得最小值. 所以 f(x)在区间0，23上的最小值为 f23 3. 【类题通法】求函数 yAsin(x)B 周期与最值的模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x)h 或 yAcos(x)h的形式； 第二步：由 T2|求最小正周期； 第三步：确定 f(x)的单调性； 第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论. 【对点训练】 设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求 的值； (2)求 f(x)在区间，32上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)32 3sin2xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x 32cos 2x12sin 2xsin2x3. 因为 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期T44. 又 0，所以22，因此 1. (2)由(1)知 f(x)sin2x3. 设 t2x3，则函数 f(x)可转化为 ysin t. 当x32时，53t2x3 83， 如图所示，作出函数 ysin t 在53，83 上的图象， 由图象可知，当 t53，83时，sin t32，1 ， 故1sin t32，因此1f(x)sin2x332. 故 f(x)在区间，32上的最大值和最小值分别为32，1. 热点二 解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题. 【例 2】 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且cos Aacos Bbsin Cc. (1)证明：sin Asin Bsin C； (2)若 b2c2a265bc，求 tan B. (1)证明 在ABC 中，根据正弦定理， 可设asin Absin Bcsin Ck(k0). 则 aksin A，bksin B，cksin C. 代入cos Aacos Bbsin Cc中， 有cos Aksin Acos Bksin Bsin Cksin C，变形可得 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC 中，由 ABC， 有 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 sin Asin Bsin C. (2)解 由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35. 所以 sin A 1cos2A45. 由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以45sin B45cos B35sin B， 故 tan Bsin Bcos B4. 【类题通法】(1)在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键. 【对点训练】 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，且 AB1，BC3，CDDA2. (1)求角 C 的大小和线段 BD 的长度； (2)求四边形 ABCD 的面积. 解 (1)设 BDx， 在ABD 中，由余弦定理，得 cos A14x2221， 在BCD 中，由余弦定理，得 cos C94x2223， AC，cos Acos C0. 联立上式，解得 x 7，cos C12. 由于 C(0，).C3，BD 7. (2)AC，C3，sin Asin C32. 又四边形 ABCD 的面积 SABCDSABDSBCD 12ABADsin A12CBCDsin C32(13)2 3， 四边形 ABCD 的面积为 2 3. 热点三 三角函数与平面向量结合 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题. 【例 3】已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn. (1)求角 B 的大小； (2)若 b 3，求 ac 的范围. 解 (1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn， (2ac)cos Bbcos C0， cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0， 2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0. 即 2cos Bsin Asin(BC)sin A. A(0，)，sin A0，cos B12. 0B，B23. (2)由余弦定理得 b2a2c22accos23a2c2ac(ac)2ac(ac)2ac2234(ac)2，当且仅当 ac 时取等号. (ac)24，故 ac2. 又 acb 3，ac( 3，2.即 ac 的取值范围是( 3，2. 【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题. 【对点训练】 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)a b，且 yf(x)的图象过点12， 3 和点23，2 . (1)求 m，n 的值； (2)将 yf(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知 f(x)a bmsin 2xncos 2x. 因为 yf(x)的图象过点12， 3 和23，2 ， 所以3msin6ncos6，2msin43ncos43， 即312m32n，232m12n，解得m 3，n1. (2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6. 由题意知 g(x)f(x)2sin2x26. 设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知 x2011， 所以 x00， 即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2). 将其代入 yg(x)得 sin261， 因为 0，所以 6， 因此 g(x)2sin2x22cos 2x. 由 2k2x2k，kZ 得 k2xk，kZ. 所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k ，kZ.