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高考数学精品复习资料 2019.5第6讲圆锥曲线中的定点、定值问题例7已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为e.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由审题破题(1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明解(1)设椭圆E的方程为1(a>b>0)，由已知得解得所以b2a2c21.所以椭圆E的方程为y21.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1m，y1)，(x2m，y2)，·(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，所以·m·m2.因为对于任意的k值，·为定值，所以2m24m12(m22)，得m.所以M，此时，·.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，则x1x22，x1x21，y1y2，由m，得·.综上，符合条件的点M存在，且坐标为.构建答题模板第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成yy0k(xx0)的形式，则kR时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)g(x，y)0的形式，则R时曲线恒过的定点即是f(x，y)0与g(x，y)0的交点；,第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.对点训练7已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值(1)解由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以，解得k±，所以直线l的斜率为±.(2)证明设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程得消去x，得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因为N为线段AB的中点，所以y0，即y0，所以x02.即线段AB中点的横坐标为定值2.
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