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人教版高中数学必修精品教学资料章末综合测评(四)圆与方程(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中,点A(3,4,0)与点B(2,1,6)的距离是()A2B2C9 D.【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|.【答案】D2当圆x2y22xkyk20的面积最大时,圆心坐标是()A(0,1)B(1,0)C(1,1)D(1,1)【解析】圆的标准方程得：(x1)221,当半径的平方1取最大值为1时,圆的面积最大k0,即圆心为(1,0)【答案】B3圆O1：x2y24x6y120与圆O2：x2y28x6y160的位置关系是()A相交B相离C内含D内切【解析】把圆O1：x2y24x6y120与圆O2：x2y28x6y160分别化为标准式为(x2)2(y3)21和(x4)2(y3)29,两圆心间的距离d2|r1r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.【答案】D4(2016葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中,被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50B3xy70Cx3y50Dx3y10【解析】依题意知所求直线通过圆心(1,2),由直线的两点式方程,得,即3xy50,故选A.【答案】A5已知点M(a,b)在圆O：x2y21外,则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定【解析】由题意知点在圆外,则a2b21,圆心到直线的距离d1,故直线与圆相交【答案】B6若P(2,1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点,则直线AB的方程是()A2xy50B2xy30Cxy10Dxy30【解析】圆心C(1,0),kPC1,则kAB1,AB的方程为y1x2,即xy30,故选D.【答案】D7圆心在x轴上,半径为1,且过点(2,1)的圆的方程是()A(x2)2y21B(x2)2y21C(x1)2(y3)21Dx2(y2)21【解析】设圆心坐标为(a,0),则由题意可知(a2)2(10)21,解得a2.故所求圆的方程是(x2)2y21.【答案】A8(2016泰安高一检测)圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是() 【导学号：09960151】A36B18C6D5【解析】圆x2y24x4y100的圆心为(2,2),半径为3,圆心到直线xy140的距离为53,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R6.【答案】C9过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l,直线m：ax3y0与直线l平行,则直线l与m的距离为()A4B2C. D.【解析】P为圆上一点,则有kOPkl1,而kOP,kl.a4,m：4x3y0,l：4x3y200.l与m的距离为4.【答案】A10一个几何体的三视图如图1所示,正视图和侧视图都是等边三角形,该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),则第五个顶点的坐标可能是()图1A(1,1,1)B(1,1,)C(1,1,)D(2,2,)【解析】由三视图知,该几何体为正四棱锥,正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心,高为,则第五个顶点的坐标为(1,1,)故选C.【答案】C11已知圆C1：(x2)2(y2)22,圆C2与圆C1关于直线xy10对称,则圆C2的方程为()A(x3)2(y3)22B(x1)2(y1)22C(x2)2(y2)22D(x3)2(y3)22【解析】设点(2,2)关于直线xy10的对称点为Q(m,n),则解得m3,n3,所以圆C2的圆心坐标为(3,3),所以圆C2的方程为(x3)2(y3)22,故选D.【答案】D12(2016台州高二检测)已知圆O：x2y240,圆C：x2y22x150,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则OAB面积的取值范围是()图2A2,2B2,8C2,2D2,8【解析】SOAB|AB|2|AB|,设C到AB的距离为d,则|AB|2,又d1,3,742d215,所以SOAB|AB|2,2【答案】A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13已知A(1,2,3),B(5,6,7),则线段AB中点D的坐标为_【解析】设D(x,y,z),由中点坐标公式可得x3,y4,z2,所以D(3,4,2)【答案】(3,4,2)14以原点O为圆心且截直线3x4y150所得弦长为8的圆的方程是_【解析】原点O到直线的距离d3,设圆的半径为r,r2324225,圆的方程是x2y225.【答案】x2y22515(2015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为_【解析】以原点O为圆心的圆过点P(1,2),圆的方程为x2y25.kOP2,切线的斜率k.由点斜式可得切线方程为y2(x1),即x2y50.【答案】x2y5016若x,yR,且x,则的取值范围是_【解析】xx2y21(x0),此方程表示半圆,如图,设P(x,y)是半圆上的点,则表示过点P(x,y),Q(1,2)两点直线的斜率设切线QA的斜率为k,则它的方程为y2k(x1)从而由1,解得k.又kBQ3,所求范围是.【答案】三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4),B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程【解】法一：圆心在y轴上,设圆的标准方程是x2(yb)2r2.该圆经过A、B两点,所以圆的方程是x2(y1)210.法二：线段AB的中点为(1,3),kAB,弦AB的垂直平分线方程为y32(x1),即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r为,所求圆的方程为x2(y1)210.18(本小题满分12分)如图3所示,BC4,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz上,且BDC90,DCB30,求AD的长度图3【解】由题意得B(0,2,0),C(0,2,0),设D(0,y,z),在RtBDC中,DCB30,|BD|2,|CD|2,z,2y3,y1,D(0,1,)又A,|AD|.19(本小题满分12分)已知圆C：(x1)2(y2)225,直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明：不论m为何值时,直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程【解】(1)证明：由(2m1)x(m1)y7m40,得(2xy7)mxy40.解得直线l恒过定点A(3,1)又(31)2(12)2525,(3,1)在圆C的内部,故直线l与圆C恒有两个公共点(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时,有lAC,由kAC,得l的方程为y12(x3),即2xy50.20(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2y216内的定点,B,C是这个圆上的两个动点,若BACA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线【解】设点M(x,y),因为M是弦BC的中点,故OMBC.又BAC90,|MA|BC|MB|.|MB|2|OB|2|OM|2,|OB|2|MO|2|MA|2,即42(x2y2)(x0)2(y2)2,化简为x2y22y60,即x2(y1)27.所求轨迹为以(0,1)为圆心,以为半径的圆21(本小题满分12分)如图4所示,平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点,定点A,C的坐标分别是A(2,3),C(2,1)图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(2,2),求直线BC截圆E所得的弦长【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心,半径r|AC|,所以圆E的方程为x2(y2)25.(2)直线BC的斜率k,其方程为y1(x2),即3x4y20.点E到直线BC的距离为d2,所以BC截圆E所得的弦长为22.22.(本小题满分12分)如图5,已知圆C：x2y210x10y0,点A(0,6)(1)求圆心在直线yx上,经过点A,且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P,Q两点,且圆弧PQ恰为圆C周长的,求直线m的方程 【导学号：09960152】图5【解】(1)由x2y210x10y0,化为标准方程：(x5)2(y5)250.所以圆C的圆心坐标为C(5,5),又圆N的圆心在直线yx上,所以当两圆外切时,切点为O,设圆N的圆心坐标为(a,a),则有,解得a3,所以圆N的圆心坐标为(3,3),半径r3,故圆N的方程为(x3)2(y3)218.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的,所以CPCQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时,点C到y轴的距离为5,直线m即为y轴,所以此时直线m的方程为x0.当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为ykx6,即kxy60.所以5,解得k.所以此时直线m的方程为xy60,即48x55y3300,故所求直线m的方程为x0或48x55y3300.
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