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人教版高中数学必修精品教学资料 章末复习课 整合整合 网络构建网络构建 警示警示 易错提醒易错提醒 1熟练把握三角中的相关公式熟练把握三角中的相关公式 本章中的公式较多本章中的公式较多,又比较相似又比较相似,在应用过程中在应用过程中,可可能因为对公式能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误,熟练把握公式是关熟练把握公式是关键键 2关注角的取值范围关注角的取值范围 由于三角函数具有有界性由于三角函数具有有界性,解题时往往会由于忽视角的范围而导解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密致解题过程欠严密,结果不准结果不准,这种情况在解给值求角的问题中易出这种情况在解给值求角的问题中易出现现 专题一专题一 三角函数式的求值问题三角函数式的求值问题 三三角函数式求值主要有以下三种题型角函数式求值主要有以下三种题型 (1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特要观察所给角与特殊角间的关系殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函转化为求特殊角的三角函数值问题数值问题 (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三求另外一些角的三角函数值角函数值,解题的关键在于解题的关键在于“变角变角”,如如 ( ) ,2( )( )等等,把所求角用含已知角的式子表示把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范求解时要注意角的范围的讨论围的讨论 (3)给值求角：实质上是转化为给值求角：实质上是转化为“给值求值给值求值”问题问题,由由所求角的函所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角 例例 1 (1)(2016 全国全国卷卷)若若 tan 34,则则 cos22sin 2( ) A.6425 B.4825 C1 D.1625 (2)sin 15cos 15sin 15cos 15的值是的值是( ) A.33 B.2 64 C.2 64 D 3 解 析 ：解 析 ： (1) 因 为因 为tan 34, , 则则cos2 2sin 2cos24sin cos sin2cos214tan tan211434 34216425.故选故选 A. (2)原式原式tan 151tan 151 1tan 151tan 15tan 45tan 151tan 45tan 15 tan (4515)tan 60 3. 答案：答案：(1)A (2)D 归纳升华归纳升华 对于给值求角的问题对于给值求角的问题, ,角的范围分析很重要角的范围分析很重要, ,是防止出现增解的是防止出现增解的重要手段重要手段 变式训练变式训练 已知已知 sin 47 210,cos 2725,则则 sin ( ) A.45 B45 C35 D.35 解析：解析：因为因为 sin 47 210, , 所以所以22sin 22. cos 7 210, ,即即 sin cos 75, ,因为因为 cos 2725, , 所以所以 cos2 sin2 725, ,即即(cos sin ) (cos sin )725, , 所以所以 cos sin 15, ,可得可得 sin 35. 答案：答案：D 专题二专题二 三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、 统一三角函数的名三角函数式的化简的基本思想方法是统一角、 统一三角函数的名称在具体实施过程中称在具体实施过程中,应着重抓住应着重抓住“角角”的统一通过观察角、函的统一通过观察角、函数名、项的次数名、项的次数等数等,找到突破口找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简等手段将其化简 三角函数式的证明实质上也是化简三角函数式的证明实质上也是化简,具有方向目标的化简；根本具有方向目标的化简；根本原则：由繁到简原则：由繁到简,消除两端差异消除两端差异,达到证明目的达到证明目的. 例例 2 化简化简(tan 10 3)cos 10sin 50. 解：解：原式原式 sin 10cos 10 3 cos 10sin 50 sin 10 3cos 10sin 50 2 12sin 1032cos 10sin 502sin（1060）sin 50 2sin 50sin 502. 归纳升华归纳升华 本题中既有弦函数本题中既有弦函数, ,又有切函数又有切函数, ,由于涉及弦函数的公式较多由于涉及弦函数的公式较多, ,采采用了切化弦的方法用了切化弦的方法, ,有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值特殊值, ,为逆用正为逆用正弦弦的差角公式创造了条件的差角公式创造了条件, ,解法简捷解法简捷, ,明快明快 变式训练变式训练 求证：求证：12sin xcos xcos2 xsin2 x1tan x1tan x. 证明：证明：法一：法一：右边右边1sin xcos x1sin xcos xcos xsin xcos xsin x （cos xsin x）2（cos xsin x）（）（cos xsin x） cos2xsin2 x2sin xcos xcos2 xsin2 x 12sin xcos xcos2 xsin2 x左边左边 所以原命题成立所以原命题成立 法二：法二：左边左边sin2 xcos2 x2sin xcos xcos2xsin2x （cos xsin x）2cos2 xsin2 x cos xsin xcos xsin x1tan x1tan x右边右边, , 所以原命题成立所以原命题成立 专题三专题三 三角恒等变换的综合应三角恒等变换的综合应用用 高考常以三角恒等变形为主要的化简手段高考常以三角恒等变形为主要的化简手段,考查三角函数的性考查三角函数的性质当给出的三角函数关系式较为复杂质当给出的三角函数关系式较为复杂,我们要先通过三角恒等变换我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为将函数表达式变形为 yAsin(x)k 或或 yAcos(x)k 等形式等形式,然后再根据化简后的三角函数然后再根据化简后的三角函数,讨讨论其图象和性质论其图象和性质 例例 3 (2015 重庆卷重庆卷)已知函数已知函数 f(x)sin 2x sin x 3cos2x. (1)求求 f(x)的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值； (2)讨论讨论 f(x)在在 6，23上的单调性上的单调性 解：解：(1)f(x)sin 2x sin x 3cos2x cos xsin x32(1cos 2x) 12sin 2x32cos 2x32sin 2x332, , 因此因此 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 , ,最大值为最大值为2 32. (2)当当 x 6，23时时, ,02x3, ,从而从而 当当 02x32, ,即即6x512时时, ,f(x)单调递增单调递增, , 当当22x3, ,即即512x23时时, ,f(x)单调递减单调递减 综上可知综上可知, ,f(x)在在 6，512上单调递增上单调递增, ,在在 512，23上单调递减上单调递减 归纳升华归纳升华 高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性高考对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等解答时通等解答时通常是先将函数简化为形如常是先将函数简化为形如 f(x)Asin (x)B 的形的形式式, ,然后根据正弦函数的图象与性质求解然后根据正弦函数的图象与性质求解 变式训练变式训练 (2016 全国全国卷卷)函数函数 f(x)cos 2x6cos 2x 的最的最大值为大值为( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析：因为因为 f(x)cos2x6cos 2x cos 2x 6sin x12sin2x6sin x2 sin x322112, , 又又 sin x1, ,1, ,所以当所以当 sin x1 时时, ,f(x)取得最大值取得最大值 5. 答案：答案：B 专题四专题四 转化与化归思想转化与化归思想 本章以两角差的余弦公式为本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法基础利用换元法,将两角和的余弦公将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式式转化为两角差的余弦公式的形式,即即 ( ),从而推导出从而推导出两角和的余弦公式然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化两角和的余弦公式然后利用诱导公式实现正弦余弦的转化,推导出推导出两角和两角和(差差)的正弦公式以及二倍角公式的推出都体现了转化与化的正弦公式以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归归的思想 应用该思想解决了三角函数式化简、 求值、 证明中角的变换、的思想 应用该思想解决了三角函数式化简、 求值、 证明中角的变换、函数名称变换问题函数名称变换问题,解决了三角函数最值问题解决了三角函数最值问题 例例 4 已知已知 sin 4 sin 4 16, 2， ,求求 sin 4. 解：解：因为因为 442, , 所以所以 sin 4 cos 4 . 所以所以 sin 4 sin 4 sin 4 cos 4 12sin 22 12cos 216, , 又因为又因为 22, ,cos 213, , 所以所以 sin 2232. 所以所以 sin 42sin 2cos 24 29. 归纳升华归纳升华 解三角函数求值问题解三角函数求值问题, ,要优先考虑角与角之间的关系要优先考虑角与角之间的关系, ,4 与与4 互余互余, ,从而化为同角从而化为同角“4” 变式训练变式训练 已知已知 sin 245,cos 2 1213,且且 2和和2 分别为第二、第三象限角分别为第二、第三象限角,求求 tan 2的值的值 解：解：因为因为 sin 245, ,且且 2为第二象限角为第二象限角, , 所以所以 cos 2 1sin2 235. 又又 cos 2 1213, ,且且2 为第三象限角为第三象限角, , 所以所以 sin 2 1cos2 2 513. 所以所以 tan 243, ,tan 2 512, , 所以所以 tan 2tan 2 2 tan 2tan 2 1tan 2tan 2 435121435126316.
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