九年级数学[共49页]

九年级数学上册复习知识结构和考点剖析山东沂源徐家庄中学 左效平 256116一、解直角三角形11知识基本体系 12解直角三角形的考点剖析考点1：求锐角三角函数这是一个非常重要的考点。这类试题从不同角度，以灵活的形式，多变的条件，激发同学们的思考热情。正方形网格上求锐角三角函数例1、在正方形网格中，的位置如图1所示，则sin的值为（ ）A、 B、 C、 D、解析：根据题意要想求sin的函数值，应该将放置到某一个直角三角形中。而在正方形网格上构造一个包含的直角三角形是比较容易的。如图2，我们可以构造直角三角形AOB、直角三角形COD、直角三角形EOF、直角三角形GOQ等等，通过仔细观察构造的这些直角三角形，不难发现，它们有一个共同的特点，就是这些直角三角形的两条直角边都是相等的，即这些直角三角形都是等腰直角三角形。因此，sin的值是，所以选B。点评：这道题目虽然小，但是问题的背景新颖、独特。它以锐角三角函数的定义为问题求解的出发点，以构造直角三角形求解为问题解决的突破口，通过构造直角三角形的个数的多样性，来验证一个事实：一个锐角的函数值只与角度的大小有关，而与这个角所在直角三角形的直角边的长短是没有关系的。例2、正方形网格中，如图3放置，则的值为（）解析：根据题意要想求的函数值，应该将AOB放置到某一个直角三角形中。而在正方形网格上构造一个包含AOB的直角三角形是比较容易的。如图4，我们可以构造直角三角形COD,通过仔细观察构造的直角三角形，不难发现，CD=2,OD=1,所以,斜边OC=5,因此，的值等于1: 5,所以选A。变化三角形的边长求三角函数值例3、把RtABC各边的长度都扩大3倍得RtABC，那么锐角A、A的余弦值的关系为（ ）A、cosAcosA B、cosA3cosA C、3cosAcosA D、不能确定解析：把RtABC各边的长度都扩大3倍得RtABC，所以，三角形ABC和三角形ABC的对应边是成比例的，所以，RtABC RtABC，所以，A=A，根据锐角三角函数值的大小只与角的大小有关系的这一原则，就得到：cosA =cosA，所以应该选择A。在平面直角坐标系中求三角函数值例4、如图5，P是的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4）， 则sin= ( )A B C D 解析：在平面直角坐标系中，根据点P的坐标为（3，4），我们可以求得以OP为斜边的直角三角形的两直角边的长为3、4，并且，的对边长是4，邻边长是3，所以，斜边OP 的长为5，所以，sin的值为4：5。因此选B。考点2、特殊角函数值的计算例5、计算的值是 。解析:这类问题的出发点,最明显,就是考同学们对特殊角的锐角三角函数值记忆程度。另外还渗透了互余两个角之间三角函数关系。在这里显然有sin60=cos30，所以，sin60：cos30=1，又tan45=1，因此，原式的值为0。考点3、解直角三角形的应用以仰角、俯角、方位角为载体的应用型问题。求物高例6、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）解： BFC =，BEC =，BCF = EBF =EBC =BE = EF = 20 在RtBCE中， 答：宣传条幅BC的长是17.3米。是否有触礁危险解析：判断货船有无触礁危险的标准为：1）计算出货船向正东方向航行时，小岛C距正东航向的垂直距离；2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：当垂直距离暗礁半径时，货船无触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险。例7、如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由解：过点C作CDAM，垂足D，根据题意，得：AB=240.5=12，CAB=30，CBD=60，CDB=90，因为，CBD是三角形ABC的一个外角，所以，CBD=CAB+ACB，因为，CAB=30，CBD=60，所以，ACB=30，所以，ACB=CAB，所以，AB=BC=12，在直角三角形CBD中，CD=BCsin60=12=6，又因为，=1.5，32.25所以，1.5，所以，661.569，因为，在C岛周围海里的区域内有暗礁，所以，继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。是否超速例8、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图3，所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60方向上，点C在点A的北偏东45方向上（1）请在图3中画出表示北偏东45方向的射线AC，并标出点C的位置；（2）点B坐标为 ，点C坐标为 ；（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）解析：判断汽车是否超速的标准为：1）计算出笔直的限速公路BC的距离；2）计算出汽车在笔直的限速公路BC的速度；3）比较汽车在笔直的限速公路BC的速度与最高行驶速度的大小：当汽车在笔直的限速公路BC的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路BC的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路BC的速度最高行驶速度时，不超速；解：（1）北偏东45方向的射线AC，如图4所示，（2）在直角三角形AOB中，OA=100，OAB=60，所以，OB=OAtan60=100，点B坐标为（-100，0）；又因为，CAO=45，COA=90，所以，ACO=45，所以，OA=OC=100，所以，点C的坐标为（100，0）；3）由1）、2）知道，从点B到点C的距离为：（100+100）米；并且汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，所以，汽车的速度为：（100+100）1518m/s，而最高速度为：50/317m/s，因为，18m/s17m/s，所以，该汽车在限速公路上超速行驶。是否通过解析：汽车恰好能通过的标准是：轴心距所在的直线恰好在点P处相切。例9、如图5，是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，O1，O2分别是车轮的轴心，M是线段O1O2的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等经验告诉人们，只要中点M不被P点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段O1O2上的其它点就不会被P点托住，汽车就可顺利通过否则，就要通过其他方式通过（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距O1O2为400cm. 通过计算说明,当APB等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1，参考数据sin14.480.25，cos14.480.97）（2）当APB=120时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应符合什么条件？。解：1）如图6，汽车恰好能通过斜坡时，点、M、P、Q恰好在一条直线上，连接C，则CPA，所以，在直角三角形PC中，M=200，C=50，所以，sinMC=0.25，又因为，sin14.480.25，所以，MC =14.48，所以，APB=180-14.48-14.48=151.04 151 ；（2）当APB=120时，要使汽车安全通过，则有MC =30，所以，= sin30=，所以，M=2C，所以，O1O2=4C，即=，所以，当APB=120时，要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应至少为1：4。是否穿过解析：判断是否穿过文物保护区的标准为：1）计算出C距直线MN的垂直距离；2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：当垂直距离文物保护区范围时，不会穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，恰好穿过文物保护区；例10、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”如图7,在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）:解：如图8,所示,过C作CHAB于点H，设CH=xm，则，所以，不会穿过保护区。是否最近解析：判断轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近的标准为：1）作出C到直线AB的垂直距离，找到距离小岛最近的点的位置，垂足处；2）求出点B与垂足之间的距离，就是所要求的答案。例10、一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3，tan21.3， sin63.5，tan63.52）解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到RtACD与RtBCD设BDx海里，在RtBCD中，tanCBD，所以,CDx tan63.5；在RtACD中，ADABBD(60x)海里，tanA，所以，CD( 60x ) tan21.3；所以，xtan63.5(60x)tan21.3，即，解得，x15。答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近。是否最快解析：判断最快的标准为：1）计算出三人各自行驶的路程；2）计算出三人各自行驶的路程所用的时间；3）所时间最少的人，就是最快的。例11、如图11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O米到离B点最近的D点，再跳人海中救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米秒若BAD=45，BCD=60，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。(参考数据21.4，31.7)解：在三角形ABD中，因为，AD=300，BAD=45，BDA=90，所以，BD=300，所以，AB=30023001.4=420，所以，1号救生员所用的时间为：4202=210（秒）；在三角形BCD中，因为，BD=300，BCD=60，BDA=90，所以，BC=300sin60=20032001.7=340，CD=1/2BC=170，所以，AC=300-170=130，所以，2号救生员所用的时间为：1306+3402191.7（秒）；3号救生员所用的时间为：3006+3002=200（秒）；因为，210200191.7，所以，2号救生员最快。是否影响采光解析：判断楼的影子是否影响楼的一楼住户采光的标准为：1）计算楼的影子在B楼上的高度；2）比较楼的影子在B楼上的高度与B楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米的大小：当楼的影子在B楼上的高度B楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，影响采光；当楼的影子在B楼上的高度=B楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，不影响采光；当楼的影子在B楼上的高度B楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时，不影响采光；例12、如图12，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南。B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米。当正午时刻太阳光线与地面成角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由。（参考数据：，）解：如图13，设光线影响到楼的处，作于，由题知，所以，所以，因为，所以，2.682，所以，影响B楼的采光，因为，所以，楼影子影响到楼一楼采光，挡住该户窗户米测量问题：如图14，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角AFE=60，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角AGE=45；已知测角器的高度是16米，求旗杆AB的高度(的近似值取17，结果保留小数)图14解：设AE为x米，在RtEF中，AFE=60， EF=x/3 在RtAGE中，AGE=45 AE=GE 8+x/3=x x=12+4 即x188(的近似值取17，结果保留小数)AB=AE+EB204答：旗杆高度约为204米二、二次函数21知识和结构2.2考点剖析:考点1: 考图象二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容。现以部分中考题为例介绍几种与二次函数图象有关的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。要想顺利解答二次函数图象的相关的问题，同学们要学会如何从图象上获取有价值的信息。二次函数图象能向你传达的信息有两类，一类是从图象上可以直接获得，并能直接应用的信息；另一类是需要你自己综合分析、加工处理后，才能应用的信息。常见的直接信息有如下几条：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像上可以直接获得的信息是：1、a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a0；开口向下a0;2、c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，co；交点在原点以下，c0。3、b24ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数；抛物线与x轴有两个交点 b24ac0；抛物线与x轴有一个交点 b24ac=0，抛物线与x轴没有交点 b24ac0，4、图象交点坐标的纵坐标的符号：过交点作y轴的垂线，看垂足的位置；如果垂足在y 轴的正半轴，那么交点的纵坐标大于0；如果垂足在原点，那么交点的纵坐标是0；如果垂足在y 轴的负半轴，那么交点的纵坐标小于0；5、图象与x轴交点的横坐标的符号：如果图象与x轴的交点都在x轴的正半轴上，那么交点的横坐标都是正数；如果图象与x轴的交点都在x轴的负半轴上，那么交点的横坐标都是负数；如果图象与x轴的交点一个在x轴的负半轴上，一个在x轴的正半轴上，那么交点的横坐标一个为正，一个为负； 如果图象与x轴的交点一个在x轴的负半轴上，一个在原点，那么交点的横坐标一个为0，一个为负； 如果图象与x轴的交点一个在x轴的正半轴上，一个在原点，那么交点的横坐标一个为0，一个为正； 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a、b、c相关的代数式是否成立例1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个解析：仔细观察函数的图象，不难得到如下信息：a0，c0，=1，其余的信息都需要你结合图象去分析，加工，因为，=1，所以，b=-2a，又因为a0，所以，b0，这样abc0，对照结论。说明是错误的；过x=-1点作x轴的垂线，交抛物线与点A，过A作y 轴的垂线，垂足为B，不难发现，垂足B在y 轴的负半轴上，因此，点A的纵坐标是小于0，因为x=-1，所以，A的纵坐标：y=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c， 又因为点A的纵坐标是小于0，a-b+c0，因此，a+cb；所以结论是错误的；不妨设抛物线与x轴交点的横坐标分别是x1，x2，根据抛物线的对称性，可以得到：，所以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，又因为，x1-1，所以，2-x2-1，即x23，所以当x=2时，在正半轴的交点一内，可以利用解决结论的方法，得到：4a+2b+c0，因此，结论是正确的；根据：a-b+c0，b=-2a，消去字母a，得：b+c0，所以，2c3b；因此结论是正确的；因为抛物线的开口方向向下，所以抛物线有最大值，并且是当x=1，函数值最大，此时为y=a+b+c，当x=m 时 ，函数值为：am2+bm+c，所以，a+b+c am2+bm+c，即，所以结论是正确的；综合上述的分析，只有三个结论是正确的，因此选B。2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a、b、c相关的代数式的大小例2、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，则P、Q的大小关系为 。解析：仔细观察函数的图象，不难得到如下信息：a0，c=0，10，因此，b0，b-2a，所以2a+b-2a+2a0，原式子可以化简为：P=|a-b|+|2a+b|，Q=|a+b|+|2a-b|，仔细观察图象，很容易得出，当x=-1时，y=a-b0，当x=1时，y=a+b0，又因为，a0，所以，2a0，所以， 2a-b0-b-b，又因为，b0，所以，-b0，所以，2a-b0，将式子再化简为：P=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b，Q=|a+b|+|2a-b|=a+b+b-2a=2b-a，所以，P-Q= a+2b-（2b-a）= a+2b-2b+a=2a，又因为，2a0，所以，P-Q0，因此，PQ。3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 。解析：仔细观察函数的图象，不难得到如下信息：a0，c0，10，因此，b0，不妨设抛物线与x轴交点的横坐标分别是x1，x2，根据抛物线的对称性，可以得到：，所以，x1+x2=2，所以，x1=2-x2，因为，x2=3，所以，x1=2-3=-1，所以，关于的一元二次方程的解为：x1=-1，x2=3。4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限。解析：仔细观察函数的图象，不难得到如下信息：a0，c0，0，因此，b0，所以，bc0，所以点P的横坐标是负的，纵坐标也是负的，所以点P在第三象限。5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是 。 解析：解答此类问题时常常遵循如下原则：同一字母在不同解析式中的意义必须相同，有几个字母就验证几个。（A）中看抛物线a0，看一次函数a0，二者矛盾，故（A）不正确；（B）中看抛物线，a0，看一次函数，a0；接着再看b的符号，看一次函数，b0，看抛物线，b0，矛盾，故（B）不正确；（C）中看抛物线，a0，看一次函数a0，看一次函数，b0，看抛物线，b0，两个字母的意义都相同，故正确答案应选（C）。6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 。解析：仔细观察函数的图象，不难得到如下信息：a0，c=0，所以，a2-1=0，所以，a=1或a=-1，又因为：a0，所以，a=-1。当然这些只是一部分问题，只要你是个细心人，一定会在此基础上有更大收获。考点2:考抛物线的解析式求二次函数的解析式，是重点内容。一、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a0）把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c的三元一次方程组；解方程组，求得a、b、c的值；把a、b、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。解：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a0），把点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4）分别代入：y=ax2+bx+c中，得：a+b+c=2，4a+2b+c=2，9a+3b+c=4，解得：a=1，b=-3，c=4，所以，二次函数的解析式为：y=x2-3x+4。二、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当抛物线与x轴的交点坐标：A（x1，0）、B（x2，0）、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。求该抛物线的解析式。解：因为，抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），所以，设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+2），由已知抛物线过C（2，8）点，得：8=a（2-1）（2+2），解方程得：a=2，所以，所求抛物线的解析式为：y=2（x-1）（x+2）=2x2+2x-4。三、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当知道抛物线的顶点坐标：M（h，k）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k（a0）把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；解方程，求得a值；把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。例3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4， 因为，二次函数图象过点B（3，0），所以，4a-4=0，解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。四、 已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式当已知抛物线的对称轴是y轴，抛物线上的两个个点的坐标：A（x1，y1）、B（x2，y2）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：设二次函数的解析式：y=ax2+c（a0）把点A、B的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、c的二元一次方程组；解方程组，求得a、c的值；把a、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax2+c（a0），因为，AB=20，所以，FA=FB=10，因为，CD=10，所以，EC=ED=5所以，点A的坐标为（-10，），点C的坐标为（-5，），所以，= a（-5）2+c=25a+c，= a（-10）2+c=100a+c，因为，EF=3，所以，-=3，所以，（25a+c） -（100a+c）=3，解得：a=-，仔细观察图象，图象还经过点（0，0），所以，c=0，所以，所求函数的解析式：y=- x2。五、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为_。解题指导：求平移后的二次函数的关键是，同学们要真正理解二次函数的平移规律。二次函数的平移规律：上下平移：向上平移m个单位，就是在二次函数的完全平方式的后面加上m；向下平移m个单位，就是在二次函数的完全平方式的后面减去m；（m是正整数）。例如：将y=ax2，向上平移3个单位，得到的二次函数为：y=ax2+3；将y=ax2，向下平移3个单位，得到的二次函数为：y=ax2-3；左右平移：向左平移n个单位，就是在二次函数的完全平方式的底数中加上n；向右平移n个单位，就是在二次函数的完全平方式的底数中减去n；（n是正整数）。例如：将y=ax2，向左平移3个单位，得到的二次函数为：y=a（x+3）2；将y=ax2，向右平移3个单位，得到的二次函数为：y=a（x-3）2；解析：在解答时，可以先进行左右平移，后上下平移；也可以先上下平移，后左右平移。所以，抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，得到二次函数：y=（x-3）2，二次函数：y=（x-3）2向上平移6个单位，得到二次函数为：y=（x-3）2+6，所以，平移后得到的新二次函数为：y=（x-3）2+6。例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为解析：抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，得到二次函数：抛物线y=2（x+1-1）2-3即y=2x2-3；所以， 二次函数y=2x2-3再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为：y=2x2-3+3，即y=2x2；所以，平移后所得的二次函数为：y=2x2。例7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）y=2（x+1）2-1 y=2x2+3 y=-2x2-1 解题指导：图像的平移变换，主要落实在两个位置上，一个是完全平方式的底数上，一个是完全平方式的后面的常数项的位置上。此外，还有一种翻转变换，当二次函数中，右边的表达式只相差一个符号时，这两个函数之间的变换，就是翻转变换。否则，就不行。解析：函数y=2x2+1的图象先向下平移2个单位，再向左平移一个单位，就得到二次函数y=2（x+1）2-1，所以，A能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到；函数y=2x2+1的图象先向上平移2个单位，就得到二次函数y=2（x）2+3，所以，B能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到；函数y=2x2+1的图象翻转180，就得到二次函数y=-2x2-1，所以，C能由函数y=2x2+1的图象通过轴对称变换得到；所以，只有D是不行的，因此，选D。六、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式对于抛物线y=a+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式，求解思路是：1）求出起始抛物线的顶点坐标和抛物线与y 轴的交点坐标；2）求出这两个点关于x轴的对称点的坐标；3）应用顶点式，求函数的解析式 。解：设抛物线为：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，抛物线的顶点坐标为M（-，），抛物线与y 轴的交点坐标为N（0，c），所以，点M、N关于x轴对称点的坐标分别是M1（-，-），N1（0，-c），设对称的抛物线的解析式为：y=A（x+）2-，把x=0，y=-c代入所设的解析式 ，得：-c= A（0+）2-，解得：A=-a，所以，所求得解析式为：y=-a（x+）2-= -a-bx-c =-（a+bx+c）。结论1：抛物线y= a+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a+bx+c）。也就是说，把原来抛物线的二次项系数、一次项系数、常数项都变成原数的相反数后，就得到符合条件的抛物线。例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为 。解：因为，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根据结论1，得关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2+4x-5。七、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式对于抛物线y=a+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式，求解思路是：1）求出起始抛物线的顶点坐标和抛物线与y 轴的交点坐标；2）求出这两个点关于y轴的对称点的坐标；3）应用顶点式，求函数的解析式 。解：设抛物线为：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，抛物线的顶点坐标为M（-，），抛物线与y 轴的交点坐标为N（0，c），所以，点M、N关于y轴对称点的坐标分别是M2（，），N2（0，c），设对称的抛物线的解析式为：y=A（x-）2+，把x=0，y=c代入所设的解析式 ，得：c= A（0-）2+，解得：A=a，所以，所求得解析式为：y=a（x-）2+= a-bx+c。结论2：抛物线y= a+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a-bx+c。也就是说，把原来抛物线的二次项系数、常数项都保持不变，一次项系数变成原数的相反数后，就得到符合条件的抛物线。例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为 。解：因为，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根据结论2，得关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2+4x+5。八、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式对于抛物线y=a+bx+c关于原点对称的抛物线的解析式，求解思路是：1）求出起始抛物线的顶点坐标和抛物线与y 轴的交点坐标；2）求出这两个点关于原点的对称点的坐标；3）应用顶点式，求函数的解析式 。解：设抛物线为：y=a+bx+c，配方，得：y=a（x+）2+，所以，抛物线的顶点坐标为M（-，），抛物线与y 轴的交点坐标为N（0，c），所以，点M、N关于原点对称点的坐标分别是M3（，-），N3（0，-c），设对称的抛物线的解析式为：y=A（x-）2-，把x=0，y=-c代入所设的解析式 ，得：-c= A（0-）2-，解得：A=-a，所以，所求得解析式为：y=-a（x-）2-= -a+bx-c。结论3：抛物线y= a+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a+bx-c。也就是说，把原来抛物线的二次项系数、常数项都变成原数的相反数，一次项系数保持不变，就得到符合条件的抛物线。例10、抛物线 y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为 。解：因为，y=2（x-1）2+3，所以，y=2-4x+5，根据结论3，得关于原点对称的抛物线的解析式为y=-2-4x-5。考点3：图形面积最优化问题围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1） 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：；又（2）中，a= -10，y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米）， 根据题意，得：；又中，a=0，y有最大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm 由题意得： 解得： 当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能 理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，中，a= 20，y有最小值，即当时，=12.512,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.截出图形面积的最值问题例4 如图4,ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC上。（1） 问如何截才能使长方形PQMN的面积S最大？（2） 在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料APN、BPQ NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。解：（1）设长方形零件PQMN的边PN=a mm，PQ=x mm，则AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x）mm，PNBC APNABC，（相似三角形的对应高的比等于相似比），0x80S=（0x80）S=（0x80）中，a=0，S有最大值，即当时，故当截得的长方形零件PQMN的长为60 mm，宽为40 mm 时，长方形零件PQMN的面积最大，最大面积为2400mm2。点评：长方形零件PQMN的面积最大时，PN恰好是三角形的中位线。（2）能。理由是：拼法：1、 作ABC的中位线PN，2、 分别过P、N两点作BC的垂线，垂足分别为Q、M，3、 过A作BC的平行线，分别交QP、MN的延长线于G、H两点因此，四边形PNGH即为和长方形PQMN大小一样的长方形。例5 如图6，在直角梯形ABCD中，A=D=90，截取AE=BF=DG =x，已知AB=6，CD=3，AD=4。求：（1）四边形CGEF的面积S与x之间的函数关系式； （2）四边形CGEF的面积S是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）梯形ABCD的面积为=18，SAEF=AEAF=x（6-x）=3x-x2； SDGE=DEDG=x（4-x）=2x-x2；SBCF=BFDA=x4=2x；所以，S=18-（3x-x2）-（2x-x2）-2x =x2-7x+18；因为：GC0、DE0、AF0，所以6-x0、3-x0、4-x0、x0所以0x3因此自变量x的取值范围是：0x3。 （2）因为S =x2-7x+18=（x-）2+，故当x=时，面积有最小值，而自变量x的取值范围是：0x3，所以x=根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。采光面积的最值例6 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（1） 求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2） 求自变量x的取值范围；（3） 问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含x的代数式表示出BC的长。解：(1) 由图示的信息，可得：3BC+20.5+3 x=19,所以, BC=6 x,所以AC=AB+BC=(6 x+0.5)米,所以, S=(6 x+0.5) x= -x2+x;(2)由题意,得:x0,6-x0,所以0x6,因此自变量x的取值范围是：0x6,（3）S=(6 x+0.5) x= -x2+x中，a= -10，S有最大值，即当时，故当x=米时，窗框的面积最大，最大面积为平方米。三、圆31知识结构3.2考点例析圆心角和圆周角之间的关系1、求互余圆周角的大小特点：所求的圆周角与已知的圆周角构成互为余角。因此，所求的圆周角的大小就等于90减去已知圆周角的度数。例1、如图1，CD是O的直径，A、B是O上的两点，若ABD20，则ADC的度数为（ ）A、40 B、50 C、60 D、70分析：因为CD是O的直径，所以CAD=90，又因为圆周角ABD、ACD都对着弧AD，所以，ABD=ACD，所以，ACD20，因为ADC+ACD=90，因此，ADC=70。解：选D。2、已知圆周角求圆心角的大小例2、如图2，已知ACB是O的圆周角，ACB=50，则圆心角AOB是（）A40 B. 50C. 80D. 100分析：因为圆周角ACB和圆心角AOB都对着弧AB，所以根据圆周角定理可得：圆心角是弧上圆周角度数的2倍，所以，AOB=2ACB，因为ACB=50，所以AOB=100。解：选D。3、已知圆心角求圆周角的大小例3、如图3，已知圆心角BOC=124、则圆周角BAC的大小是（）。A50B62C124D236分析：因为圆周角BAC和圆心角BOC都对着弧BC，所以根据圆周角定理可得：圆心角是弧上圆周角度数的2倍，所以，BOC =2BAC，所以BAC =BOC=124=62。解：选B。4、求两个圆周角的和特点：通过构造同弧上圆周角与圆心角，利用圆心角与圆周角的关系定理去解决。例4、如图，是O的直径，点都在O上，若，则 解：连接OC、OD、OE，根据圆周角定理，则有：ADC =AOC，BEC =BOC，所以，ADC+BEC=BOC+AOC=（BOC+AOC）=180=90，又因为ADC=BEC，所以，ADC=BEC=45，所以，C=ADC=BEC=45，所以，DOE=90，所以，A+B=BOD+AOE=（BOD +AOE）=（DOE+BOE +DOE+AOD）=（DOE+AOB）=（180+90）=135。所以填135。圆中线段计算1、求圆的半径例1、如图1，在O中，弦的长为cm，圆心O到AB距离为4cm，则O的半径长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm解析：当知道圆的一条弦长和圆心到该弦的距离时，常是作出这条距离，然后根据垂径定理、勾股定理，就可以求出圆的半径了。如图2，连接OA，过点O作OCAB垂足为C，根据垂径定理，得：AC=BC= cm，因为，圆心O到AB距离为4cm，所以，OC=4 cm，在Rt直角三角形AOC 中，根据勾股定理，得：，所以，OA=5，即圆的半径为5cm，因此，选C。例2、如图3，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交BC 于D 若BC=8，ED2，求O的半径解析：根据垂径定理可以知道线段EB的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE，这样就可以在Rt直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径了。因为，ODBC， 所以，BECE=BC=4 设O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2 在RtOEB中，由勾股定理得 OE2BE2=OB2，即(R-2)242=R2 解得R5，O的半径为5。 例3、如图4，内接于O，则O的半径为（）ABCD解析：当知道圆的一条弦长和该弦所对的圆周角时，常是经过这条弦的一个端点，作出圆的一条直径，然后利用圆周角定理，把所有的已知条件都迁移到刚才所作的直径所对圆周角的直角三角形中，就可以求出圆的半径了。如图5，过点B作圆的直径BD，交圆于点D，连接AD，根据圆周角定理，得：C=D=30，DAB=90所以，在Rt直角三角形ADB 中，因为，D=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2cm，因此，选B。2、求圆的直径例4、如图，已知：ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则O的直径等于 。解析：这是一道值得探讨的好题。好在结论的获得有着不同的途径，也就是说，它是一道一题多解的命题。下面我们就介绍一种解法如下：解：过点A作圆的直径AE，交圆O于点E，连接BE，如图4，所示，在Rt直角三角形ADC 中，根据勾股定理，得：，所以，AD=4，又因为，AE是圆的直径，所以ABE=90，所以，ABE=ADC，又因为，C=E，所以，ABEADC，所以，AB：AD=AE：AC，所以，AE=5，所以圆O的直径为5。例5、小明要用圆心角为120，半径是27cm的扇形纸片(如图)围成一个圆锥形纸帽，做成后这个纸帽的底面直径为_cm(不计接缝部分，材料不剩余)解析：这是一道圆锥侧面展开问题。解决问题的关键：圆锥底面圆的周长等于侧面展开后扇形的弧长。这样，就建立起等式。设圆锥底面圆的直径为xcm，扇形的弧长为L ，所以，圆锥底面圆的周长为：xcm，扇形的弧长为：L=cm ，根据题意得：x=18，解得：x=18，所以，纸帽的底面直径为18cm。3、 求圆中弦长例6、如图6，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线若大圆半径为，小圆半径为，则弦的长为 解析：因为大圆的弦是小圆的切线，不妨设切点为D，如图7，连接OD，根据切线的性质，得：ODAB，根据垂径定理，得：AD=DB=，连接OA ，则OA=10，OD =6，在Rt直角三角形AOD 中，根据勾股定理，得：，所以，AD=8，所以，弦AB=2AD=16（cm）。例7、如图8，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。解析：因为BD为 O的直径，根据圆周角定理，得：C=D，DAB=90。又因为，BAC=120，AB=AC，所以，C=CBA=D=30，DBA=60，所以，DBC=30在Rt直角三角形ABD 中，得：cos30=， 又AD=6，所以，BD=4， 如图8，连接DC，则BCD=90，在Rt直角三角形BCD 中，DBC=30，BD=4，得：cos30=，BC=4=6。4、求切线的长例8、如图9，是O的两条切线，切点分别为，连结，在O外作，交的延长线于点如果O的半径为3，试求切线的长；解：切O于点， 在中，。由勾股定理，得。5、求圆心的坐标例9、如图10，M与轴相交于点，与轴相切于点，则圆心的坐标是 解析：如图11，连接MC，因为，点是切点，所以，MCy轴，也就是说MC的长度就是圆心M的横坐标，过圆心M作MDAB，垂足为D，也就是说MD的长度就是圆心M的纵坐标，因为，M与轴相交于点，与轴相切于点，所以，OA=2，OB=8，AB=6，根据切割线定理，得：，所以，OC=4，又AB=6，MDAB，根据垂径定理，得：AD=DB=3，所以，OD=OA+AD=3+2=5， 所以，MC= OD=5，MD=OC=4，所以，圆心M的坐标为（5，4）。直线与圆的位置关系例1、如图1，AB为O的直径，弦CDAB于点M，过点B作BECD，交AC的延长线于点E，连结BC。求证：BE为O的切线。（07山东济宁改编)分析：被判断的直线是BE，由于AB为O的直径，所以，直线BE已经具备了第一个条件：经过圆上的某一个点。这样，问题的关键就是证明第二个条件：ABBE。证明：因为AB为O的直径，所以，点B是圆上的一个点，所以，直线BE经过了圆上的点B；因为，弦CDAB于点M，所以，CMB=90，因为，BECD，所以，CMB+EBA =180，所以，EBA =90，因为AB为O的直径，所以，BE为O的切线。例2、如图2，已知：ABC内接于O，点D在OC延长线上，sinB=，D =30。求证：AD是O的切线。（07福建福州改编）分析：被判断的直线是AD，由于ABC内接于O，所以，直线AD已经具备