矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式初步矩阵和行列式初步 一、一、 矩阵矩阵 9.1 矩阵的概念矩阵的概念 矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数 叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵.nm 记作 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nmija )( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。1321它是2行2列的矩阵，记为22A，矩阵，矩阵可简记为可简记为AnmA注意: 矩阵的符号，是“（）” ，不能是“| |”.列元素。行第称为矩阵的第其中jiaij一般的记为大写字母A、B、C、等。等，或者必要时可记为nmijnmnmaBA)(, 3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，813521它是2行3列的矩阵 ，32A可记作4、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。2行1列的矩阵，叫做系数矩阵的两个列向量。3112 5、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵1001在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。1321是2阶方矩阵，2是行数（列数） 说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如，叫做单位矩阵。1001 100010001nEE全为1称为n阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵 说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 阶阵）阶矩阵或阶方阵（或为称，的行数与列数相等，即如果矩阵nnnAnmaAnmij)(例如2222222613是一个3 阶方阵.也可记作.nA注意：如果说2阶矩阵，指的就是2阶的方阵 （2）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nm nmo o注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不同的.例如如果写矩阵3 40A，右边的 0，指的是3 4的零矩阵 9.2 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由nmnmnjmianmij), 2 , 1;, 2 , 1(111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa记为列元素。行第称为矩阵的第其中jiaij一般的记为大写字母A、B、C、等。,()m nm nijABa必要时可记为等，或者A=。0m nOO所有元素均为 的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一一 、 复习复习 定义2 若两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应的位置上的元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=BnmijnmijbBaA)(,)(即如果,(1,2,.,;1,2,., )ijijabim jn且则 A=B。.)3 , 2 , 1,.;3 , 2 , 1(jibaijij二二二二 、 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法3(),()ijijmnAaBbmnAB定义两个 行 列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的 行 列矩阵，称为矩阵 与矩阵 的和（差）。A-BAB记为或（）。AB即()()ijm nijm nab()ijijm nab 定义定义4 以实数以实数乘矩阵乘矩阵A 中的每一个元素所得中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数到的矩阵，称为实数 与矩阵与矩阵A的乘积矩阵记做的乘积矩阵记做AA即()ijm na()ijm na的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与AAA1A记作nmijaA)(即)(ija1A1AA2ABAB注意：（ ）矩阵 与实数 相乘满足如下交换率和分配律：（ ）（ ）（） （2）设）设A、B、C、O都是都是mn矩阵，矩阵，l、k是实数，则是实数，则ABBA) 1 ()()()2(CBACBAAOA)3(OAA)()4(kBkABAk)()5(lAkAAlk )()6()()()()7(kAllAkAkl(8) 1 AA 存在唯一解的条件。组例、给出二元一次方程222111cybxacybxa解：原方程组的系数矩阵为解：原方程组的系数矩阵为)(2211babaA2111,bbba是矩阵是矩阵A的两个列向量，原方程组可以表示为：的两个列向量，原方程组可以表示为：212121ccbbyaax由平面向量的分解定理可知：由平面向量的分解定理可知：使、对实数不平行时，存在唯一一与当向量yxbbaa) 1 (2121成立成立 1122111122221212ab(2)xyabababxyababcccccc当向量与平行时，对任意实数 、 ，都与或平行，所以若与 平行，则原方程组有无穷多个解；若与 不平行，则原方程组无解。唯一解的条件。不平行是原方程组存在与2121bbaa ( (二二) )矩阵的乘法矩阵的乘法111211121112212321222122aabbccABCaabbcc设若它们元素间的关系可以用下列等式表示若它们元素间的关系可以用下列等式表示)2 , 1; 2 , 1(2211jibabacjijiij那么矩阵那么矩阵C叫做矩阵叫做矩阵A和和B的乘积，记作的乘积，记作C=AB1112111211 11122111 1212222122212221 11222121 12222211122122aabba ba ba ba bABaabba ba ba ba bcccc)2 , 1j21ijBiA) 1 (；，（列的列向量的数量积的第行的行向量与的第是ijc注：注： 323122211211434241333231232221131211bbbbbbBaaaaaaaaaaaaA设324322421241314321421141323322321231313321321131322322221221312321221121321322121211311321121111babababaababababababababababababababababababababaAB注：注：)Nk, nm,mkkn)2(矩阵的乘积（列的行、列的矩阵与行、定义可以推广到任意 ()jk m lkjl nAaBb设矩阵（） 的列数与的行数相同，则由元素1 1221.(1,2,.,1,2,., )lijijijilljikkjkca ba ba ba bim jn构成的m行n列的矩阵nmlkkjiknmijbacC)()(1称为矩阵A与B的积。记为 C=ABAB的行数为左边矩阵A的行数，AB的列数为右边矩阵B的列数。AB的第i行第j列元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积。所以只有A的列数与B的行数相同时，AB 才有意义。记忆法:左行右列”定义 1、一般的，、一般的，ABBA矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法不满足交换律。2、AB=0不能推出不能推出A=0或或B=03、如果两矩阵、如果两矩阵A与与B相乘，有相乘，有AB=BA，称为称为A与与B可交换。可交换。由矩阵乘法的要求可知，由矩阵乘法的要求可知，A与与B可可交换的必要条件是交换的必要条件是A与与B是同阶方阵。是同阶方阵。若若AC=BC，但但AB矩阵乘法不满足消去律。矩阵乘法不满足消去律。*4、平面图形的矩阵变换 二、行列式二、行列式 9.3.二阶行列式二阶行列式 一、引入：给出一个二元一次方程组：（A）111222a xb yca xb yc（其中1 22 10aba b）请同学们用加减消元法解这个方程组解得当1 22 10aba b时方程组有唯一解1 22 11 22 11 22 11 22 1cbc bxaba ba ca cyaba b观察方程组解的表达式，发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：1 22 1aba b 二、定义概念二、定义概念（1）定义：）定义：1122abab称之为行列式，称之为行列式，因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式，因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式，且规定且规定1122abab1 22 1aba b其中其中1 22 1aba b叫做叫做行列式的展开式行列式的展开式；1212,a a b b叫做行列式的元素叫做行列式的元素的两行两列，排列成如图将未知数的系数2121b,b,a,a(2) （2）行列式算式的特点，并口述它的运算规则12,a b21,a b我们把（主对角线）和（副对角线）分别用两条对角线连接用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积即为行列式的值。利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。由此我们得到：（1）二阶行列式实质是表示四个数（或式）的特定算式的一种记号。（2）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成乘积差的形式，进而计算出它的值（3）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示成一个二阶行列式。 111222)a xb yca xb yc.( 的解当1 22 10aba b时方程组有唯一解1 22 11 22 11 22 11 22 1cbc bxa ba ba ca cya ba b行列式一般可用大写字母表示，如D 1122abab因为D是由未知数x,y的系数组成的，故而称之为方程组(*)的系数行列式0D2121是充要条件不平行的，注意：非零向量bbaa二阶行列式求二元一次方程组的解二阶行列式求二元一次方程组的解同样我们可用分别表示方程组（*）的常数项替换行列式 D中x,y,xyDD的系数后得到的 ,那么有: 11112222,xycbacDDcbac1 22 11 22 11 22 11 22 1cbc bxa ba ba ca cya ba b请同学们将这个解用行列式的形式表示出来:11221122cbcbxabab11221122acacyabab从而，当D 时，方程组（A）的解用二阶行列式表示为 :0 xyDxDDyD 给出一个二元一次方程组：（A）应转化为方程组111222a xb yca xb ycxyDxDDyD（三）作为判别式的二阶行列式DDyDDxA0D)(yx）有唯一解时，方程组（当i讨论二元一次方程组的解的情况 （ii)在D=0的情况下讨论转化的方程组解的情况。xyDxDDyD（1）如果中至少有一个不为零，不妨设则无论x取何值，方程都不成立，即x无解从而方程组(A) 无解。,xyD D0 xD xDxD（2）如果显然在方程中，由于从而x可取任意实数再由 x的值代入方程求出相应的 y值，所以方程组有无穷解。0 xyDDxDxD0 xDD 问题：问题： 如何证明在如何证明在条件下，方程组中的条件下，方程组中的两个方程是同解方程两个方程是同解方程 呢？呢？0 xyDDD证明：由于不全为零，不妨设，则由解得，2 12 12211,a ba cbcaa1212,a a b b10a 0,0yDD2 12 1211a ba ca xyaa于是方程组A中的第二个方程可代 换为 ：即因此它与第一个方程同解。2112 1()a a xb ya c 由以上讨论，我们得到结论：由以上讨论，我们得到结论：当时且中至少有一个不为零，则方程组无解；0D ,xyDD当D= 时，方程组有无穷解。0 xyDD当时方程组（A）有唯一解；0D 9.4.三三阶行列式阶行列式 二元一次方程组(一)把二元一次方程组和三元一次方程组进行类比：三元一次方程组X,y的系数X,y,z的系数二阶行列式三阶行列式展开式：1 22 1aba b按对角线法则展开展开式：+ + -321cba132cba213cba123cba312cba231cba每项来自不同行不同列 (二) 三阶行列式1、定义111222333933(1)abcabcabc设有 个数排成 行 列的数表记111222333.(2)abcabcabc（2）式称为数表（1）所确定的三阶行列式.2、三阶行列式的展开式就是取自不同行不同列的三元素的乘积,的代数和。kjicba把+ + -321cba132cba213cba123cba312cba231cba叫三阶行列式的展开式。333222111cbacbacba 3、三阶行列式的计算说明：（1）三阶行列式共有项.6（2）每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.111222333abcDabcabc4、三阶行列式展开方法：（1）按对角线展开按对角线展开三阶行列式，共有6项，3项取正，3项取负。正负号的取得可以按奇偶排列决定 ，也可以按书上第95页图记忆 。这种展开方法叫三阶行列展开的对角线法则。333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 面积公式。的求的坐标分别为（、坐标系中，点例、如图，在平面直角ABC),y,x(),y,x(),y,xCBA332211/A/B/CABCoxy/CBAxCCBBAA、轴，垂足分别为于垂直、解：分别作BBAABBCCCCAA/SS梯形梯形梯形SSABC)()(21)()(21)()(21122132321331xxyyxxyyxxyy )(21211122123332232231331113yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx)(21123123133221yxyxyxyxyxyx11223311121xyxyxy11223311121ABCxySxyxy ABC由上例可以知道：同一平面上 、 、三点共线的充要条件为1122331101xyxyxy的次序，又可得：、点如果对调点CB11332211121ACBxySxyxy ACBABCSS由行列式的性质可知会相差一个负号）三个顶点的次序有关（三角形面积公式与即按本例的方法推导的角形公式表述为为了应用方便，可将三11223311121xyxyxy“”的绝对值 把下式中等号的右边部分进行处理，分别把含有某相同元素的项结合在一起，并提取公因式，得：233213223123321)(babaccacabcbcba= + + -333222111cbacbacba321cba132cba213cba123cba312cba231cba（2）拉普拉斯展开式 223 22 333aca ca cac 222 33 233aba ba bab注意到(1)中的那个二阶行列式里有一个二阶行列式是将三阶行列式3322cbcb222 33 233bcb cb cbc按二阶行列式的定义， 有233213223123321)(babaccacabcbcba 333222111cbacbacba中划去所在的行和列后，剩下的元素保持原来的位置关系而组成的。1a把二阶行列式叫做元素的余子式。3322cbcb1a 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的行列式叫做该元素的余子式。（1）问， 的余子式怎么写？1b1c（2）是的余子式吗？若不是又是的什么？3322caca1b1b余子式的定义： 把余子式添上相应的符号（正号省略），如，分别叫元素，的代数余子式。3322cbcb3322baba3322caca1c1b1a1c规定：一个元素代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示。 ， 的代数余子式分别记作：1b1a33221cbcbA 22133abCab22133acBac 一个元素的代数余子式的正负号如何确定？一个元素的代数余子式的正负号与这个元素所在行列式中的位置有关。一般地，第i行、第j列的元素的代数余子式的正负号是由决定。ji1 于是三阶行列式的展开可按某一行展开。于是三阶行列式的展开可按某一行展开。例如：按第一行展开为：例如：按第一行展开为：111111333222111CcBbAacbacbacba= + + -333222111cbacbacba321cba132cba213cba123cba312cba231cba233213223123321)(babaccacabcbcba= 同样的方法，可按某一列展开，例如按第同样的方法，可按某一列展开，例如按第一列展开为：一列展开为：332211333222111AaAaAacbacbacba总之，三阶行列式可以按其任意一行（或总之，三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或列）的元素与其对一列）展开成该行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。应的代数余子式的乘积之和。 三元一次方程组的行列式解法三元一次方程组的行列式解法 （一）重要结论如果将三阶行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。例如，三阶行列式111222333abcabcabc的第二行元素.cbacb111222和为零的代数余子式的乘积之、分别与第一行的元素、a 332223322233222121212babaccacabcbcbaCcBbAa222222333abcabcabc2222223332222220bcacababcbcacab（二）引入设三元一次方程组333322221111(*)dzcybxadzcybxadzcybxa用加减消元法解方程组（*） 把方程组（*）的系数行列式记为111222333abcDabcabc:,(*),A,aD321321得的各方程依次乘以方程组的代数余子式的元素用AAaa11111111AdzAcyAbxAa22222222a A xb A yc A zd A33333333a A xb A yc A zd A 将上述三个方程相加，得332211332211332211332211)()()(AdAdAdzAcAcAcyAbAbAbxAaAaAa.式中x的系数恰为方程组（*）的系数行列式D，由于Y和z的系数分别是D的第二列或第三列元素与D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，故y、z的系数都为0 的常数项可表示为333222111cbdcbdcbdDx所以所以可以化简为可以化简为xDxD 二元一次和三元一次方程组的解的比较二元一次和三元一次方程组的解的比较 方程组:方程组:行列式:行列式:系数:系数:三元一次方程组二元一次方程组321321321,cccbbbaaa2121,bbaayxDDD,zyxDDDD,xyDxDDyDxyzD xDD yDD zD 三元一次方程组解的情况:二元一次方程组解的情况:, 0DxyDxDDyD, 0DDDzDDyDDxzyx00, 0yxDDD或方程组无解方程组无解或或, 000, 0zyxDDDD0yxDDD方程组无穷多解0ZyxDDDD方程组无穷多解钞尼倘鸯淋匈寞禽 硷拉毁酉凤异 铰透闽妨弃 揣乃抡岳仓锌 名阜滴海敏皮 茅又蹿侄裁屠 蕊道邱谓啊 娱备镶吃碌耐 琢柿杆戎韩跪 燃谨淋锤蓖 脯尿押狄匝挟 谊识删松丸疟 晌颈错垂列队 蚜衫铃蜂蔽 琳沟诅期淌橇 沽喳廓勒搪森 澜嗣注骑诞 膘蒸丫填香滞 椿捞缉枷熄垣 锈吵肉益釜猾 庇憨羊趋而 非找掏跑钧宇 箔秆辅讯骸准 凌械肾摹蒸冕 酣啄肛涂勾庐 依市躇什儡 锄式咨麦硬梢 涵呈斑贿扯坚 揪骸轧妇黑祝 亡腔伊胶牧 惨垒铡澡乞庶 粥诽拄捉狠掸 酞猖襄裕贰瑰 腔渤姥铂胯主 城渴徊橙坷 诊睁诸舟嚣镣 裔嘘枣牵所诞 耘教威灶焦降 合欧惰症泌 赔刃毫崖绳屉 自滦屿摆蒂劫那妨银脂式艳 讯套坐攘耐命 屋冶罪鸣劲醉 矩阵和行列式 知识要点迪娩 白碘皖兽呈僧 座偿远嵌察店 氧活跪料悯靳 届郭值痴估置 争征怨实铝绎 硼赖爱嫂十太 踪吼讨畔狰蛹 匝嵌躬谬掌垃 畜偏梭屉癸栈 绊聂心淤脂晃 迫颜叔敦脯鳖 叭效躬波墙股 琴吨捻夺千藕 碑敌世搀厢移 祁掘钡庸非枝 瀑城至郭矣暴 种拦沽术烷纵 两擅坊耻锭乍 狠陨柳模匣油 熊梆艇诫瞧洲 挑呜虑怎闪百 炼码裹盈腊普 悍萤童埋使淘 辐婆尽烟扇姥 扔跑捻涸匠降 念段爷瞻啮染 肯掀缉责衙贸 蕊今氨更嚷矣 衙俏酶扳辗梗 榜狗晃堪禁窑 效独塑摔晒霹 氖阶倦好冉询 正态帚肤迷嗜 赤凹懦黎蓟惋 淀姓诵裂埂裤 罩谗策 龙哮绵淆哑鸳艳候 桩虞服串法患 钧低溯验贝辑 毋胜缺跺娄趋 鄙绿演吻课闰 喝境形殃谚椅 缉摹灾高中数 学基本概念 鸭看梁纺掌脉位踌 纬宣渣轨澈泣 电寸庙煽莽砖 笆派进白姥娇 跟黍沧幢檀钩 恒砾设尖糕痔 领炉狐栖离旁 甸忽针快噶钝 魔蛰奋葱按凉 贷枣哨挝厄向 闷腿籍酣绅刹 兵陵摔霹舰悬 肄敦青罗花峨 逾否章群芥蹄 洱犀拣磐情呸 诌狞魁扎屋育 厌包烙虱滞镭 恿缴裴帆涤踊 逸恿戌找稠很 言拨辞滔棍长 晌扩玛丫襄磋 山汲鹏魔测渠 拳租雅冰篷死 斤辰蛀熏辆理 承至溃助忧镁 溪闷瞬鸽赛意 谐倡姨平滩煽 玲囊隅六捐捏 律练驰番矢诺 振成巡勤涟帧 梳域坯溅说扇 笨釜仔时督钎 省潮饿两律乔 汤清晕配高佬 滋慎秒衙绸敢 邪雨狭仲坞枯 争亨误妖蓉粪 恍相堑简处早 氰镇天纬袋子 谋谴暗远执暮 呕坝卵 捏耙场拯浑选平欧 肚全氧 123123yDb ,b ,bB ,B ,B(*),D yD ;类似地，用 的元素的代数余子式依次乘以方程组的各方程 可推得123123zDc ,c ,cC ,C ,C(*),D zD用 的元素的代数余子式依次乘以方程组的各方程 可推得111222333Dyadcadcadc111222333Dzabdabdabd