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第2课时函数的最值1理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质2会求一些简单函数的最值3了解函数最值与函数单调性的关系1最大值一般地，设yf(x)的定义域为A若存在定值x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)恒成立，则称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)【做一做1】函数yx25的最大值为_答案：52最小值一般地，设yf(x)的定义域为A若存在定值x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)恒成立，则称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)【做一做2】函数y3x1，x1,4的最小值为_答案：43函数的最大值和最小值统称为函数的最值(1)函数的值域是指函数值的集合函数最大(小)值一定是值域中的元素如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值(2)函数的值域和最值既有区别又有联系一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值【做一做31】函数y3x1，x2,3时的值域是_解析：当x2,3时，ymax3×(2)17，ymin3×318答案：8,7【做一做32】函数yx24x1，x3,3的值域是_解析：y(x2)25，当x2时，y有最大值5；当x3时，y有最小值20答案：20,5求函数最值的三种方法剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值；(2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题；(3)由函数的单调性求最值最大值：已知函数yf(x)的定义域是a，b，acb，当xa，c时，f(x)是单调增函数；当xc，b时，f(x)是单调减函数，则f(x)在xc时取得最大值最小值：已知函数yf(x)的定义域是a，b，acb，当xa，c时，f(x)是单调减函数；当xc，b时，f(x)是单调增函数，则f(x)在xc时取得最小值题型一 函数的最值【例1】已知一次函数ykxb，当x1,3时，ymax5，ymin3试求函数解析式解：若k0，则由条件得解得y2x1若k0，则由条件得解得y2x3反思：因一次函数ykxb的单调性由k来确定，所以当xm，n时，y的最值应根据k来确定，若k0，则ykmb，knb；若k0，则yknb，kmb【例2】已知函数f(x)x22ax2，x1,1，求函数f(x)的最小值解：函数f(x)的对称轴为xa，且开口向上，如图，当a1时，f(x)在1,1上单调递减，故f(x)minf(1)32a；当1a1时，f(x)在1,1上先减后增，故f(x)minf(a)2a2；当a1时，f(x)在1,1上单调递增，故f(x)minf(1)32a综上，可知f(x)的最小值为f(x)min反思：求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的相对位置，简称“两看法”只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题题型二 含参不等式恒成立问题【例3】已知函数f(x)，x1，)，(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围分析：问题(1)中，由a可确定函数解析式，由函数的单调性可确定最值；问题(2)为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建解：(1)当a时，f(x)x2，设x1，x2是1，)上的任意两个值，且x1x2，f(x2)f(x1)(x2x1)，2x1x22,0，所以10又x2x10，所以f(x2)f(x1)0，则f(x1)f(x2)所以f(x)在区间1，)上为增函数，则f(x)在区间1，)上的最小值为f(1)(2)方法一：在区间1，)上，f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)则y(x1)2a1在区间1，)上递增，所以当x1时，ymin3a于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3方法二：f(x)x2，x1，)，当a0时，函数f(x)的值恒为正，当a0时，函数f(x)递增，故当x1时，f(x)min3a，于是当且仅当f(x)min3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3反思：求函数的最值，先求函数的定义域函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值不等式f(x)a恒成立的条件是f(x)mina，f(x)a恒成立的条件是f(x)maxa题型三 最值的应用【例4】某工厂拟建造一座平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价解：设污水处理池的长为x米，0x16，则宽为米，016根据题意，总造价为y400×2×248×2×80×200800×16 000由得定义域为125,16函数y800×16 000在125,16上是单调减函数，当x16时，y取最小值为45 000故当污水处理池的长为16米，宽为125米时，总造价最低，最低总造价为45 000元反思：在利用函数的单调性处理有关实际问题的最值时，一定要注意函数的定义域要使实际问题有意义1函数f(x)3xa，x1,2的最大值与最小值的差为_解析：由题意知f(x)为增函数，最大值与最小值的差为f(2)f(1)3×2a3×(1)a9答案：92函数f(x)的值域是_解析：因为1x(1x)x2x1，从而f(x)max又f(x)0，所以f(x)的值域是答案：3以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开(如图)，已知篱笆总长为定值L，写出场地面积y为一边长x的函数， 并求出函数的定义域及面积的最大值解：根据题意，可得y(L3x)x，由题意知解得0x函数y(L3x)x的定义域为y(L3x)x3x2Lx3当x时，ymax4若不等式|x2|x3|a恒成立，求实数a的取值范围解：由f(x)|x2|x3|得其图象如图所示，所以f(x)min5，从而a(，55已知f(x)x24x3，求函数在区间t，t2上的最值解：f(x)x24x3(x2)21，作出如图所示的图象，图象的对称轴为x2当t22，即t0时，f(x)在区间t，t2上单调递减，所以f(x)maxf(t)t24t3，f(x)minf(t2)t21；当2t23，即0t1时，f(x)maxf(t)t24t3，f(x)minf(2)1当3t24，即1t2时，同上可知f(x)minf(2)1，f(x)maxf(t2)t21当t24，即t2时，f(x)在区间t，t2上单调递增，所以f(x)minf(t)t24t3，f(x)maxf(t2)t216EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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