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221函数的单调性互动课堂 疏导引导2.1.1函数的概念和图象1.函数的概念一般地,设A、B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x),xA.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域.疑难疏引(1)构成函数的三要素:定义域,对应法则f,值域.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键,对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:f(x)= 现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的,事实上,在判断两个函数是不是同一个函数时,只要定义域和对应法则相同,则必为同一函数,还有一点,如果三者中有一个不同,则必不是同一函数.案例1设对应法则f是从集合A到集合B的函数,则下列结论中正确的是()A.B必是由A中的数对应的输出值组成的集合B.A中的每一个数在B中必有输出值C.B中的每一个数在A中必有输入值D.B中的每一个数在A中只对应唯一的输入值【探究】本题主要考查的是对函数定义的理解,注意区分数学语言的逻辑次序,是对数学基本功的考查.定义中要求有三个关键词分别是:“非空”是指A、B都是非空的数集;“每一个”是指B中的每一个数在A中必有输入值;“唯一”是指A中每一个元素在B中的输出值必须唯一.故选C.【溯源】数学选择题中有很多都是对基本概念辨析的考查,我们在学习中应该有意识地对一些新概念、定义、定理做一些精读细研,这对我们高中数学学习也很有好处.2.函数的图象所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为(x0,f(x0)|x0A,即(x,y)|y=f(x),xA,所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.疑难疏引函数的图象是数形结合应用的典范.函数图象是函数关系的一种表示方法,它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来,它是研究函数关系、性质的重要工具.函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.案例2画出下列函数的图象.(1)y=(-1)x,x0,1,2,3;(2)y=x-|1-x|;(3)y=.【探究】 (1)y=(-1)x,x0,1,2,3,由于定义域的特殊性从而导致函数图象只是若干个孤立点. (2)先写成分段函数再作图.y=x-|1-x|=. (3)y=,定义域为x<0且x-.【溯源】函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象.(2)能以函数的图象识别相应函数的性质.(3)能用数形结合思想以图辅助解题.(4)可得到如下结论:函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称;函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称;函数y=f(|x|)在y轴上及其右侧的图象与函数y=f(x)的图象相同,再将y轴右侧的图象作关于y轴的对称图象可得x<0时的图象;函数y=|f(x)|在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)的图象相同,再将x轴下方的图象作关于x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象;函数y=f(x+1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的;函数y=f(x)+1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的.在函数图象平移时,记住一个口诀:“平移变换,左加右减.”左是往左平移,指的是图象往左平移几个单位,则解析式的自变量要加几个单位;右是往右平移,指的是图象往右平移几个单位,解析式的自变量要减去几个单位.案例3求下列函数的定义域.(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=.【探究】 (1)要使函数f(x)= 有意义,应有x-|x|0,即x<0.故所求函数的定义域为x|x<0.(2)要使函数f(x)= 有意义,应有即故所求函数的定义域为xR|x0且x-2.(3)要使函数f(x)= 有意义,应有即故所求函数的定义域为x|x4且x1.【溯源】(1)式中要求分式的分母不为零;(2)式中要求两个分母都不为零;(3)式中两点要求:分母不为零,且二次根式中的被开方数非负.定义域、对应法则和值域是函数的三要素.(1)目前求函数定义域的主要原则是:分式的分母不能为零;偶次根式的被开方数非负;零次幂的底数不为零.(2)目前应掌握的值域求法有:代入法(定义域为有限集);配方法(和二次有关的函数);图象法(能绘制出图象的函数).2.1.2函数的表示方法疑难疏引 函数的表示方法有三种:列表法、解析法、图象法.其中后两种方法最为常见.这些表示函数的方法各有优缺点.用解析法表示函数关系,优点是简明,便于用数学方法进行研究.用列表法表示函数关系,优点是容易找到对应于自变量的某一个值(只要表中有)的函数值,但缺点是往往不可能把自变量的值都列在表里.用图象法表示函数关系,优点是一方面可以容易地找到自变量某一值所对应的函数值,另一方面可以明显地看出自变量变化时,函数值的变化情况,但用图象法表示函数关系只能是局部的、近似的图形.根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.案例1已知函数f(x+1)=x2-1,x-1,3,求f(x)的表达式.【探究】函数是一类特殊的对应,已知函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1对应的元素是x2-1,求出x的对应元素,即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式可用“配凑法”或“换元法”.【解法一】(配凑法)f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),f(x)=x2-2x.又x-1,3时,(x+1)0,4,f(x)=x2-2x,x0,4.【解法二】 (换元法)令x+1=t,则x=t-1,且由x-1,3知t0,4,由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t0,4.f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x0,4.【溯源】已知函数fg(x)的表达式,求f(x)的表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑的方法,一种是用换元的方法.“配凑法”即把已知的fg(x)配凑成关于g(x)的表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求的f(x)的表达式;“换元法”即令已知的fg(x)中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表达式表示出x,后代入fg(x),化简成最简式.需要注意的是,无论是用“配凑法”还是用“换元法”,在求出f(x)的表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件fg(x)中g(x)的范围一致,所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.案例2已知二次函数f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0)及点C(6,0),求f(x)的表达式.【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数,其形式有:一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR且a0);两点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(aR且a0),其中x1、x2分别是f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标;顶点式f(x)=a(x-m)2+n(aR且a0),(m,n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数,所以可用待定系数法求解f(x),具体解法如下.【解法一】 (待定系数法)由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR且a0).f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0)及点C(6,0),解得 f(x)=x2-x+.【解法二】(待定系数法)f(x)的图象过点B(2,0)及点C(6,0),f(x)的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.可设f(x)=a(x-2)(x-6),aR且a0.f(x)的图象过点A(1,1),1=a(1-2)(1-6).解得a=.f(x)=(x-2)(x-6),即f(x)= x2-x+.【解法三】(待定系数法)f(x)的图象过点B(2,0)及点C(6,0),f(x)的图象关于直线x=,即x=4对称.可设f(x)=a(x-4)2+m,其中a、mR且a0.又f(x)的图象过点A(1,1)、B(2,0),解得f(x)=(x-4)2-,即f(x)=x2-x+.【溯源】 已知函数类型求解函数表达式时,一般用待定系数法.如求一次函数可设f(x)=kx+b,k、b为待定系数;求反比例函数可设f(x)=,k为待定系数等.本题是求二次函数,由于二次函数有三种形式,设成一般式还是两点式、顶点式要根据题设中的条件来确定.一般情况,知道二次函数图象过三点时,可选用一般式;知道图象与x轴交点坐标时,可选用两点式;如知道二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程时,可选用顶点式.无论选用哪种形式,都需要列方程或方程组求解待定系数.2.1.3函数的简单性质1.函数的单调性疑难疏引 函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f(x),它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数,它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-,0)上是减函数,在(0,+)上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-,0)(0,+)是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有x1<x2,但f(x1)<f(x2),不满足减函数的定义.有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数,而在另一些区间上是减函数.例如函数y=x2在(-,0)上是减函数,在,+)上是增函数.中学阶段我们所讨论的函数,只要它们在区间的端点有定义,那么在考虑单调区间时,包括端点、不包括端点都可以.函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.案例1观察下列函数的图象,写出单调区间:【探究】 本题主要检测单调性定义的直观理解,辨析函数y=f(x)在区间I上是单调增(减)函数,则图象在I上的部分从左到右是上升(下降)的.(1)单调减区间为(-,1,单调增区间为1,+).(2)单调减区间为(-,1,单调增区间为1,+).【溯源】单调性与单调区间.(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形容.(3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的.增函数的图象特征:从左到右上升.减函数的图象特征:从左到右下降.记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.2.函数的奇偶性疑难疏引 奇偶性的判断:(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数.函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.奇偶性、单调性等常常与函数方程、不等式结合在一起,具有较强的综合性,这些知识的综合与应用,一直是高考的热点.另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间(0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数f(x)在区间 , (0<a<b)上有相同的最大(小)值.记忆口诀:奇函数,偶函数,函数奇偶看f.同号偶,异号奇,非奇非偶不离奇.对折偶,旋转奇,图象重合在一起.案例2已知函数f(x)=.(1)用定义证明该函数在1,+)上是增函数;(2)判断该函数的奇偶性.【探究】本题考查的是函数性质的证明,主要是进一步掌握证明步骤及要点.(1)设x1、x21,+)且x1<x2,f(x1)-f(x2)=,x1<x2,x1-x2<0.x1、x21,+),(x1x2-1)>0,(x12+1)(x22+1)>0.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以该函数在1,+)上是增函数.(2)由xR,又f(-x)=-f(x),所以该函数是奇函数.【溯源】函数单调性的证明分四步:设值;着差;定号;结论.函数的奇偶性判定要注意定义域关于原点对称.3.利用信息技术探讨函数的性质利用计算机绘制函数的图象具有快速准确的特点,常用的有microsoft出品的Excel和Scott and Nick Jackiw共同开发的几何画板,特别是几何画板是一款非常优秀的多媒体软件.它是一个通用的数学、物理教学环境,提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想,只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例,范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平,而是数学思想的应用水平.案例3借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.【探究】计算机中有好多程序可以画图,但要注意的是,选用最常用的比较方便,如选用几何画板画的函数图象如右图,由图象可知,函数的单调递增区间为(-,-1)、(0,1);函数的单调递减区间为(-1,0)、(1,+).【溯源】在应用几何画板时,要注意使用其中的“图表”中的“新建函数(N)”功能,要用到其中的“abs”即“绝对值函数”.2.1.4映射的概念1.映射的概念一般地,设A、B是两个集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB.疑难疏引 这个定义,可从以下四点深刻理解它:(1)“f:AB”,包括集合A、B以及A到B的对应法则f(A,B).(2)映射f:AB是有方向的,即从A到B,定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”,并不要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应.因此,“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中,集合A中的每一个元素在B中都有“象”,且“象”唯一.(4)映射是一种特殊的“对应”.而“对应”与集合一样,也是原始概念,即无定义的,但可以“说明”.对应是两个集合A与B的关系,通常以一个集合为主来考虑,对于A中的每一个元素来说,有以下三种对应关系:B中有唯一元素与之对应;B中有多个元素(不是唯一)与之对应;B中没有元素与之对应.案例 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射,为什么?(1)设A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,7,8,9,对应法则f:x2x+1;(2)设A=N*,B=0,1,对应法则f:xx除以2得到的余数;(3)设A=1,2,3,4,B=1,f:xx的倒数;(4)A=(x,y)|x|<2,x+y<3,xZ,yN,B=0,1,2,f:(x,y)x+y;(5)A=x|x>2,xN,B=N,f:x小于x的最大质数;(6)A=N,B=0,1,2,f:xx被3除所得余数.【探究】依据映射的定义,可得(1)(2)(3)(5)(6)都是A到B的映射,(4)不是A到B的映射.因为(4)中A=(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),由对应法则f:(x,y)x+y知:集合A中的元素(-1,0)在集合B中没有元素与之对应,故(4)不是A到B的映射.【溯源】映射的概念是现代函数概念的基础,弄懂映射的概念,为我们进一步理解函数概念的本质奠定了基础.判别一个对应是映射f:AB的要点是:A到B;A中每一个元素在B中都有元素与之对应,且元素唯一.2.用映射的概念定义函数、函数的定义域、值域疑难疏引 用映射的概念定义函数、函数的定义域、值域时应注意的问题:(1)函数是特殊的映射,特别注意A、B是非空数集;(2)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,有的简记作函数f(x).而f(a)表示自变量x=a(aA)时的函数值;(3)值域C是B的子集,当B中的每一元素在A中都有元素与之对应时,B=C;(4)应该知道,函数的决定性要素是两个:定义域和对应法则,而值域是由定义域和对应法则确定的,因而今后有“求函数的值域”的很多难题.因此,研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法则这两个独立要素下手,但很多人往往犯“忽视定义域”的错误.“映射”这一节内容是学完集合及其相关概念后又出现的一个新概念,它是集合论中一个极为重要的概念,是函数概念的推广.本节课主要内容就是映射概念,由于映射概念抽象、乏味、不好理解,因此重点、难点也是映射概念.在初中我们初步学习了用变量描述的函数概念,从运动变化的观点出发,将自变量x的每一取值与唯一确定的函数值对应起来.但是,有些函数如果只根据变量观点,就很难进行深入研究.例如,著名的狄利克雷(Dirchlet)函数f(x)=和高斯(Gauss)函数g(x)=、(xR,表示不超过x的最大整数),对这两个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,但用集合、对应的观点来解释,就十分自然.因此,近代数学引入集合与映射的概念,是数学发展的需要,是为了更好地刻画函数的定义,加深对函数概念的理解.函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是AB的映射,而后一种不是AB的映射.用映射的概念来深刻理解函数,反之,用函数的方法来解映射的问题,这是把概念与操作相结合的现代观点.在学习中,用具体的函数来操作映射是最快的算法,而不要在概念中兜圈子.活学巧用1.已知P=x|0x4,Q=y|0y2,下列对应法则中不是从P到Q的函数是()A.f:xy=B.f:xy=C.f:xy=D.f:xy=【思路解析】 本题关键还是抓住定义中关键词“每一个”,即P中每一个元素x在Q中都有的输出值y.在法则f:xy=中,若x=4,按照法则应该与y=6相对应,而6Q,所以应该选择C.【答案】 C2.判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数?(1)A=x|-2x2,B=y|-1y1,f(x)=x;(2)A=x|x是平面上的三角形,B=y|y是平面上的圆,f:作三角形的外接圆;(3)A=x|-1x1,B=y|-1y1,f:xy=;(4)A=x|-1x1,B=y|0y2,f:xy=x2;(5)A=x|0x4,B=y|-2y2,f:xy2=x.【解】(1)(4)是函数,(2)(3)(5)不是函数.【提示】(2)不是数集;(3)A中有元素不能“输入”;(5)B中的数在A中的输入值不唯一.3.求下列函数的定义域:(1)f(x)=.(2)f(x)=.(3)f(x)=.(4)y=.【解】(1)要使函数有意义,必须4-x21,即-x.函数f(x)= 的定义域为函数的定义域为x|xR且x0,-1,-.(3)要使函数有意义,必须函数f(x)=的定义域为x|x<-1或-1<x<0.(4)要使函数有意义,必须即x<-或x>-.函数y=的定义域为x|xR,x-.4.画出下列函数的图象:(1)y=x2-2,xZ且|x|2;(2)y=-2x2+3x,x(0,2;(3)y=x|2-x|;(4)y=【思路解析】 对于常见函数,由于其特征学生很熟悉,故一般只要选几个关键点,但要注意人为限制的定义域对图象的影响.对分段函数可先处理为若干段常见函数,在转折点的取舍上格外注意.【解】 如图所示:5.已知f(x)=画出它的图象,并求f(1),f(-2).【解】 f(1)=3×12-2=1,f(-2)=-1.6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种?()【思路解析】 A、C图中t=0时d=0,即该生一出家门便进家门(与学校距离为0),应排除,B、D中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小.故应选D.【答案】 D7.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=x2,求:(1)fg(x);(2)gf(x);(3)ff(x);(4)gg(x).【思路解析】 本题关键是理解复合函数的意义,fg(x)就是将g(x)作为f(x)中的自变量x,按照法则f输出.【解】fg(x)=2×g(x)-1=2x2-1,gf(x)=(2x-1)2.同理,ff(x)=4x-3,gg(x)=x4.8.已知f(x)是一次函数,且f=4x-1,求f(x)的解析式.【思路解析】 本题适合采用待定系数法求解.【解】 设f(x)=kx+b,则k(kx+b)+b=4x-1,则或f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.9.已知g(x)=1-2x,fg(x)=(x0),求f().【思路解析】 本题有两种思路,一是先将f(x)的解析式求出,然后将x=代入就可以求出f();二是令g(x)= ,先求出x的值,然后再求f().【解法一】令t=1-2x,则x=,f(t)=.f()=15.【解法二】 令1-2x=,则x=.f()=15.10.给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.(1)(2)【思路解析】 通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.【解】 图(1)中y=f(x)的单调区间有(-3,-1,(-1,0),0,1),1,3).其中在(-3,1和0,1)上是减函数,在(-1,0)和1,3)上是增函数.图(2)中y=g(x)的单调区间有(-,)和(,),其中在(-,)和(,)上都是减函数.【解题回顾】 图(1)中x=-3和x=3不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”,而其余端点写成“开”或“闭”均可.图(2)中虽在两个区间上均为减函数,但不能把两个区间并起来.11.画出函数y=的图象,并写出单调区间.【思路解析】 图略.单调减区间为(-,-1),(-1,+).【思考】 能不能说函数y=在定义域(-,-1)(-1,+)上是单调减函数?【解】 不能.12.证明函数f(x)=x+在(-,2)上是增函数.【证明】(定义法)设x1、x2(-,2),且x1<x2.则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+-=(x1-2)2(x2-2)2-4(x1+x2-4)在(-,2)上,x1<x2<2,有x1-x2<0,x1+x2-4<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-,2)上是增函数.13.已知f(x)=x2+ax+3在-1,1上的最小值为-3,求a的值.【思路解析】 本题要讨论函数在给定区间上的单调性,二次函数的单调性与其对称轴有关,故需结合图象进行讨论.【解】 当->1,即a<-2时,ymin=f(1)=4+a=-3,a=-7.当-1-1,即-2a2时,ymin=f(-)=-3,a=±2(舍去).当-<-1,即a>2时,ymin=f(-1)=4-a=-3,a=7.综上,a=±7.【借题发挥】对二次函数在定区间上的最值问题,一般需要研究二次函数的图象,这时可能要讨论函数的开口方向和对称轴,平时在练习中要强化这方面的训练.14.判断下列函数是否为奇函数或偶函数.(1)f(x)=x2-1;(2)f(x)=(x-1)2;(3)f(x)=x3+5x;(4)f(x)=x2(x);(5)f(x)=;(6)f(x)=0(x);(7)f(x)=;(8)y=.【思路解析】 本题主要考查的是对函数奇偶性定义的理解,要注意函数的定义域是否关于原点对称.【解】(1)是偶函数.因为它的定义域是R,且对任意xR,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x).(2)既不是奇函数,也不是偶函数.因为虽然它的定义域是R,但对任意xR,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,所以f(-x)f(x)且f(-x)-f(x).(3)是奇函数.因为它的定义域是R,对任意xR,f(-x)=(-x)3+5(-x)=-x3-5x=-f(x).(4)既不是奇函数,也不是偶函数.因为它的定义域不关于原点对称,如f(2)存在,但f(-2)无意义.(5)既不是奇函数,也不是偶函数.因为它的定义域x|x1,xR不关于原点对称.(6)既是奇函数,也是偶函数.因为它的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)=0,故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同时成立.(7)既是奇函数,也是偶函数.因为它的定义域是1,-1,关于原点对称,化简得f(x)=0,所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立.(8)是奇函数.由得所以该函数的定义域是-1,0)(0,1,此时化简得f(x)=,对任意x都有f(x) =-f(x)成立.【规律总结】函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质(函数的单调性是定义域上的局部性质),强化两者间的辨析,能够加深对定义的理解.15.函数f(x)、g(x)在区间a,b上都有意义,且在此区间上f(x)为增函数,f(x)>0;g(x)为减函数,g(x)<0.判断f(x)g(x)在a,b的单调性,并给出证明.【解】 减函数.令ax1<x2b,则有f(x1)-f(x2)<0,即可得0<f(x1)<f(x2);同理,有g(x1)-g(x2)>0,即可得f(x2)<f(x1)<0.从而有f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)=f(x1)(g(x1)-g(x2)+(f(x1)-f(x2)g(x2), (*)显然f(x1)(g(x1)-g(x2)>0,(f(x1)-f(x2)g(x2)>0,从而(*)式>0,故函数f(x)g(x)为减函数.16.画出函数y=|2x-x2|的图象并指出它的单调性.【解】 先画u=-x2+2x的图象,再将x轴下方的关于x轴对称,x轴上方的图象不变.由图象可知:函数y=|2x-x2|在(-,0)上递减,在0,1上递增,在1,2上递减,在2,+)上递增.17.判断函数f(x)=-x3+1在(-,0)上是增函数还是减函数,并证明你的判断.如果x(0,+),函数f(x)是增函数还是减函数?【解】 一般地,当k>0,f(x)与kf(x)具有一致的单调性;若k<0,则f(x)与kf(x)的单调性相反.从f(x)=-x3+1上可直接得出f(x)是减函数,用单调性的定义证明,应注意对差式的变形及分解因式.f(x)=-x3+1在(-,0)上是减函数,证明如下:在(-,0)上任取x1 、x2,且x1<x2.f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)(x2+)2+x12,又x2-x1>0,(x2+)2+x12>0,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故f(x)=-x3+1在(-,0)上是减函数.同理可证,当x(0,+)时,函数f(x)仍然是减函数.18.在下列各对应关系中,是从A到B的映射的有()A.(1)(3)(4)B.(2)(3)(5)C.(1)(2)(4)(5)D.(2)(4)(5)【答案】 D【规律总结】对映射概念的理解是高中数学的一个难点,通过对图象的认识,可进一步加深我们对映射定义本质的理解.19.(1)已知f:xy=x2是从集合A=R到B=0,+)的一个映射,则B中的元素1在A中的对应元素是_.(2)已知A=a,b,B=c,d,则从A到B的映射有_个.【答案】(1)±1(2)46EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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