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2.1.2 函数的表示方法名师导航知识梳理1.函数的表示方法 主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法. 一个函数一般可以用以下三种方法表示：(1)解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法. 例如，函数y=2x+1就是用一个代数式2x+1表示函数y的，因此，它是用解析法表示函数.(2)列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法. 例如，y=2x+1用列表法表示是：x0123456y135791113(3)图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.2.“区间”与“无穷大”的两个概念 区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义. 对于a,b，(a,b)，a,b)，(a,b，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法. 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-、+作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间. 设a、b是两个实数，且ab，我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做_，表示为a,b.(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为_.(3)满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_，_.这里a、b叫相应区间的端点，我们再来看一下下面的图表：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,ba|aa,x|xb,x|xa开区间(a,+)x|xb半开半闭区间（-,b）x|xb开区间（-,b）疑难突破 函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？ 表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法.结合其意义、优点与不足，分别说明如下:(1)用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.已学过利用函数的解析式，求自变量x=a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂.(2)列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系，于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表，方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌.(3)用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确.问题探究问题1 你能从现实生活中举出用三种方法表示函数的例子吗?探究思路：现实生活中有许许多多函数的例子，如：商场中各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的；房地产公司出售的商品房，总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的；工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.问题2 函数的表示方法中的解析式法是我们表示函数最常用的一种方法，你能说出求函数解析式的常用方法吗？探究思路：一般用字母x表示函数的自变量，字母y表示函数值，列出x与y之间的等量关系，化简成y=f(x)的形式.求函数的解析式的方法很多，常用的有代入法、换元法、待定系数法、配凑法、方程或方程组法等.典题精讲例1 已知函数f(x)=2x2+1，x0，2，求f(2x+1).思路解析 由题意知道了函数f(x)的表达式即知道了对应法则“f”，所以求f(2x+1)可用代入法求解.解答：f(x)=2x2+1，f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3.又由题意知02x+12，-x.f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3，x-，.例2 已知函数f(x+1)=x2-1，x-1，3，求f(x)的表达式.思路解析 函数是一类特殊的对应，已知函数f(x+1)=x2-1，即知道了x+1的象是x2-1，求出x的象，即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式,本题可用“配凑法”或“换元法”.解法一：(配凑法)f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1)，f(x)=x2-2x.又x-1，3时，(x+1)0，4，f(x)=x2-2x，x0，4.解法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1，且由x-1，3知t0，4，由f(x+1)=x2-1，得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t，t0，4.f(x)=(x-1)2-1=x2-2x，x0，4.例3 已知二次函数f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，求f(x)的表达式.思路解析 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR且a0)；交点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(aR且a0)，其中x1、x2分别是f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f(x)=a(x-m)2+n(aR且a0)，(m，n)是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f(x)，具体解法如下.解法一：(一般式)由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a、b、cR且a0).f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)及点C(6，0)，f(x)= x2-x+.解法二：(交点式)f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)，f(x)的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.可设f(x)=a(x-2)(x-6)，aR且a0.f(x)的图象过点A(1，1)，1=a(1-2)(1-6).解得a=.f(x)=(x-2)(x-6)，即f(x)=x2-x+.解法三：(顶点式)f(x)的图象过点B(2，0)及点C(6，0)，f(x)的图象关于直线x=，即x=4对称.可设f(x)=a(x-4)2+m，其中a、mR且a0.又f(x)的图象过点A(1，1)、B(2，0)，f(x)=(x-4)2-，即f(x)=x2-x+.例4 (1)已知函数f(x)满足2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，求f(x)的表达式；(2)已知函数y=f(x)的定义域为(0，+)，且f(x)=2f()+x，求f(x)的表达式.思路解析 题(1)可看成是关于f(x)的方程，通过解方程可解得f(x)的表达式；题(2)应注意到等式f(x)=2f()+x，一方面此等式反映出f(x)与f()之间的等量关系，这种等量关系可看作是关于f(x)与f()的方程；另一方面此等式是对(0，+)内的一切实数x均成立，故将此等式中的x换成后，相应的等式也应该成立，从而可通过列方程组求解.解答：(1)2xf(x)-3f(x)-x2+1=0，(2x-3)f(x)=x2-1.又x=时，方程左边=-+1=-0，x=时，f(x)无意义.当x时，f(x)=.(2)x0时，有f(x)=2f()+x， 而x0时，0，f()=2f(x)+. 联立解得f(x)=-为所求.知识导学1.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：列表法、解析法、图象法.其中后两种方法最为常见.这些表示函数的方法各有优缺点. 用解析法表示函数关系，优点是简明，便于用数学方法进行研究，但是多数的函数关系又往往不能用这种方法表示. 用列表法表示函数关系，优点是容易找到对应于自变量的某一个值(只要表中有)的函数值，但缺点是往往不可能把自变量的值都列在表里. 用图象法表示函数关系，优点是一方面可以容易地找到自变量某一值所对应的函数值，另一方面可以明显地看出自变量变化时，函数值的变化情况，但用图象法表示函数关系只能是局部的、近似的图形.2.求函数的解析式 根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，一是要求出对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.疑难导析 由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.问题导思 问题1:这样的例子还可以举出很多很多.是不是你也能举出身边的一个例子？ 问题2:求函数的解析式一般要指出函数的定义域.典题导考绿色通道 当我们已知函数f(x)的表达式，要求fg(x)的表达式时，一般用“代入法”，即将f(x)中的x用g(x)取代，化简，而由于fg(x)中的g(x)相当于f(x)中的x的一个取值，所以fg(x)的定义域应由g(x)满足f(x)的定义域来确定.求解fg(x)的定义域就是解关于g(x)的不等式.典题变式 已知f()=，那么f(x)的函数解析式为( )A. B. C. D.1+x答案:C绿色通道 已知函数fg(x)的表达式，求f(x)的表达式，解决此类问题一般有两种思想方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法. “配凑法”即把已知的fg(x)配凑成关于g(x)的表达式，而后将g(x)全用x取代，化简得要求的f(x)的表达式； “换元法”即令已知的fg(x)中的g(x)=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入fg(x)，化简成最简式. 需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f(x)的表达式后，都需要指出其定义域，而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件fg(x)中g(x)的范围一致，所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.绿色通道 已知函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f(x)=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f(x)=，k为待定系数；指数函数可设成f(x)=ax(a0且a1)，对数函数可设成f(x)=logax(a0且a1)等. 本题是求二次函数，由于二次函数有三种形式，设成一般式还是交点式、顶点式要根据题设中的条件来确定.一般情况下，知道二次函数图象过三点时，可选用一般式；知道图象与x轴交点坐标时可选用交点式；如知道二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程时可选用顶点式.无论选用哪种形式，都需要列方程或方程组求解待定系数.典题变式 已知函数f(x)的图象如下图所示.则f(x)的解析式是_.答案:f(x)=绿色通道 方程及方程思想是初等数学中的两个重点内容，利用解方程或方程思想来解决数学问题是我们常用的方法.典题变式 设函数f(x)满足f(x)+2f()=x(x0)，求f(x).答案:f(x)+2f()=x, 以代换x得f()+2f(x)=, 解组成的方程组得f(x)=.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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