高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 平均不等式素材 新人教A版选修45

平均不等式一、引入：1定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 指出定理适用范围：强调取“=”的条件。2定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明： 即： 当且仅当时 注意：（1）这个定理适用的范围：；（2）语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证。推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）证明：4算术几何平均不等式：如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；基本不等式： （） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB 则，从而，而半径。二、典型例题：例1 已知为两两不相等的实数，求证：。证： 以上三式相加：例2 设为正数，求证：。例3 设，为正数，证明：。例4 若，设 求证： 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375