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2.1.3 函数的简单性质名师导航知识梳理1.基础知识图表2.函数的单调性 如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有_，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的_. 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域. 讨论函数y=f(x)的单调性时要注意两点：(1)若u=(x)，y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=f(x)为_；(2)若u=(x)，y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=f(x)为_.若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有_的单调性.(2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有的单调性；C0时，函数f(x)与Cf(x)具有_的单调性.(3)若f(x)0，则函数f(x)与具有_的单调性.(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)是减(增)函数.使用上述结论，可以简便地求出一些函数的单调区间.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差化简、变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而证得函数的增减性. 利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.3.函数的奇偶性 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么f(x)叫做奇函数. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么f(x)叫做偶函数. 奇函数的图象关于_对称；偶函数的图象关于_对称. 如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数). 函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质. 由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性),然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性. 判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)f(x)=0或=1f(x)0来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x)=. 当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论. 函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称. 奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=.(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)=0.疑难突破1.怎样理解函数的增减性？ 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x0,+)时是增函数，当x(-,0)时是减函数.2.对于函数的单调性与单调区间，你是怎样理解的？ 由定义,在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：(1)函数的单调区间是其定义域的子集.(2)应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，右图中，在x1、x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)f(x2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数.(3)除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)f(x2)”改为“f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)”即可.(4)定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况； 外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对应时是单调递减.几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 若f(x)、g(x)都为增函数(减函数)，则f(x)+g(x)为增函数(减函数). 若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)为增函数；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数. 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.3.怎样理解函数的奇偶性？ 奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数：(1)定义域不是关于原点对称的区间;(2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式.问题探究问题1 在函数的单调性定义中，你认为哪些词语最为关键？探究思路：函数的单调性定义中有这样几个关键词语：(1)“对于区间I内”，这“区间I”应满足“IA”，即函数的单调区间有时是函数定义区间的某个子区间.(2)“如果对于区间I内的任意两个值x1、x2”，这里x1、x2的任意性是非常重要的，这是把区间上无限多个函数的大小问题转化为任意两个函数值大小的关键.(3)“当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，“都有”的意思是无一例外.问题2 如果一个函数在两个区间上同增减，那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？探究思路：对某一函数y=f(x)，它在区间(a，b)与(c，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a，b)(c，d)上一定是单调增(减)函数.比如说，函数y=在(-，0)、(0，+)内都是减函数，但在(-，0)(0，+)上不能说是减函数，这是因为取个特例x1=1，x2=-1，可见y1=1，y2=-1，这时变成x1x2时，却有y1y2，不再符合减函数的定义.问题3 你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函数或偶函数，你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？探究思路：定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的，不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2，x(-2，2，f(-1)=f(1)，f(-)=f()，f(2)虽然存在，但f(-2)无定义，故f(-2)=f(2)不成立，所以f(x)是无奇偶性的. 定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”,即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)是否等于f(x).问题4 函数的单调性和奇偶性的区别是什么?探究思路：根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道：函数的单调性反映函数值的变化趋势，反映在图象上，是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x1、x2所对应的函数值大小的比较，推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系；函数的奇偶性反映函数的整体性态，即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.问题5 函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性，你能说出奇偶性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？探究思路：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性. 判断函数奇偶性的一般方法是利用定义，通常是先求函数的定义域，观察定义域是否关于原点对称，然后验证f(-x)是否等于f(x)；有时也可利用定义的变形形式，如验证f(-x)f(x)=0，或=1f(x)0是否成立.典题精讲例1 证明函数y=x+在(1，+)上为增函数.思路解析 证明函数的增减性，先在定义域上取x1x2，然后作差f(x1)-f(x2)，判断这个差的符号即可.证明：设x1、x2是(1，+)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+(-)=x1-x2-=(x1-x2)().x1-x20，x1x2-10，x1x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数y=x+在(1，+)上为增函数.例2 借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.思路解析 计算机中有好多程序可以画图，但要注意的是，选用最常用的比较方便，如选用几何画板.解答：用几何画板画的函数图象如下图，由图象可知，函数的单调增区间为(-，-1)、(0，1)；函数的单调减区间为(-1，0)、(1，+).例3 已知函数f(x)=，x1，+).(1)当a=时，求函数的最小值；(2)若对任意x1，+)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.思路解析 先来解决第(1)问，当a的值给定时，函数变为f(x)=x+2，它类似于函数f(x)=x+，所以可以利用函数的单调性来判断最值.解答：(1)当a=时，f(x)=x+2.f(x)在1，+)上为增函数，所以f(x)在1，+)上的最小值为f(1)=.(2)f(x)=x+2，x1，+).当a0时，函数f(x)的值恒为正;当a0时，函数f(x)在1，+)上为增函数，故当x=1时，f(x)有最小值3+a，于是当3+a0时，函数f(x)0恒成立，故0a-3.综上可知，当a-3时，f(x)0恒成立.例4 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=；(2)f(x)=x3-2x；(3)f(x)=a(xR)；(4)f(x)=思路解析 按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.解答：(1)函数的定义域为x|x-1，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R，关于原点对称，当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a0时，f(-x)=a=f(x)，即f(x)是偶函数.(4)函数的定义域为R，关于原点对称，当x0时，-x0，此时f(-x)=-x1+(-x)=-x(1-x)=-f(x)；当x0时，-x0，此时f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x)；当x=0时，-x=0，此时f(-x)=0，f(x)=0，即f(-x)=-f(x).综上，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.例5 已知f(x)是奇函数，在(-1，1)上是减函数，且满足f(1-a)+f(1-a2)0，求实数a的范围.思路解析 要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.解答：由f(1-a)+f(1-a2)0，得f(1-a)-f(1-a2).f(x)是奇函数，-f(1-a2)=f(a2-1).于是f(1-a)f(a2-1).又由于f(x)在(-1，1)上是减函数，因此，解得0a1.例6 对定义域内的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)=1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)证明f(x)在(0,+)上是增函数;(3)解不等式f(2x2-1)x10，则f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().x2x10，1.f()0，即f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)上是增函数.(3)解:f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2.f(x)是偶函数,不等式f(2x2-1)2可化为f(|2x2-1|)f(4).又函数在(0,+)上是增函数，|2x2-1|4，解得-x，即不等式的解集为(-,).例7 判断下列函数是否具有奇偶性.(1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2；(3)f(x)=x3+；(4)f(x)=x+1.思路解析 判断函数是奇函数或是偶函数按定义证明即可.解答：(1)f(-x)=(-x)3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)f(-x)=(-x)3+(-x=-(x3+)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(4)f(x)=x+1中，既没有f(-x)=f(x)，也没有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数.知识导学1.函数的单调性与单调区间 函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，即是“整体”性质.对某一函数y=f(x)，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f(x)，它在区间(a，b)与(c，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a，b)(c，d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=在(-，0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(-，0)(0，+)上是减函数，因为当取x1=-1，x2=1时，对应的函数值为f(x1) =-1，f(x2)=1，显然有x1x2，但f(x1)f(x2)，不满足减函数的定义. 有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一个区间上是减函数.例如函数y=x2在(-，0)上是减函数，在，+上是增函数. 中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以. 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.2.奇偶性的判断(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇、偶函数；(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇、偶函数；(3)定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)或f(-x)= -f(x)的函数才是偶函数或奇函数.3.函数奇偶性的应用(1)利用奇偶性求有关函数值；(2)利用奇偶性求有关函数的解析式；(3)利用奇偶性研究函数的其他性质. 奇偶性、单调性等常常与函数方程、不等式结合在一起，具有较强的综合性，这些知识的综合与应用，一直是高考的热点. 另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0ab)上有相同的最大(小)值.4.利用信息技术探讨函数的性质 利用计算机绘制函数的图象具有快速准确的特点，常用的有microsoft出品的Excel和Scott and Nick Jackiw共同开发的几何画板，特别是几何画板是一款非常优秀的多媒体软件.它是一个通用的数学、物理教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想，只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例，范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平，而是数学思想的应用水平.疑难导析1.函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域内是增函数(减函数)，也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间,如函数：f(x)=5x,x1,2,3.再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).2.单调性与单调区间(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大，小对小”，可以用“荣辱与共”这个词形容.(3)说增函数必须谈及区间，脱离区间谈增函数是没有意义的.增函数的图象特征：从左到右下降.减函数的图象特征：从右到左下降.3.说明(1)若函数f(x)为奇函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=-f(x)；若函数f(x)为偶函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=f(x).(加深对函数奇偶性的理解，并使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义)(2)强调x的任意性.(3)基本特征：f(x)=f(-x)和g(-x)=-g(x)是否成立,是判断函数奇偶性的主要依据.(4)重要特征：若x在函数f(x)的定义域内，则-x也在函数f(x)的定义域内，因此函数f(x)的定义域关于原点对称.问题导思 不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来. 若函数y=f(x)在闭区间a，b上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值.当f(x)在a，b上递增时，ymax=f(b)，ymin=f(a)，当f(x)在a，b上递减时，ymax=f(a)，ymin=f(b). 函数的单调性是针对定义域的某个区域而言的,是函数的“局部”性质. 一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件，这是奇、偶函数的本质属性之一. 奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反. 函数奇偶性的几个性质：(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0；(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.典题导考黑色陷阱 作差时，在不能明显确定正、负符号的式子中判断符号，也许以为这是投机取巧的想法，但这在应试中是要吃亏的.因为数学思维讲究缜密性.比如本题中，直接说(x1-x2)()0是不可以的.典题变式 判断f(x)=在x(1，+)上的单调性.答案:任取x1、x2(1，+)且x1x2，则f(x1)-f(x2)=-=.x2-10，x1-10，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在(1，+)上是减函数.绿色通道 在应用几何画板时，要注意使用其中的“图表”中的“新建函数(N)”功能，要用到其中的“abs”即“绝对值函数”.典题变式下图是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.答案:函数y=f(x)的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中y=f(x)在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数 绿色通道 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.黑色陷阱 容易对a的分类不全面，造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.典题变式 函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在2，3上有最大值5和最小值2，求a、b的值.解答：由f(x)=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1知，无论f(x)的单调性怎样，f(x)在2，3上存在最值的情况有两种：解得绿色通道 根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数. 对于一个命题,若是假命题，只要举一反例来说明即可.比如，说一个函数是非奇非偶函数，只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验. 有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.黑色陷阱 要注意的是，有的函数既不是奇函数又不是偶函数，解题中容易忽视这一点.典题变式 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=;(2)f(x)=(x-1).解答：(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)=-x+1-x-1=x-1-x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为x-1x1，不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.黑色陷阱 容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.典题变式 若f(x)是偶函数，当x0，+时，f(x)=x-1，则f(x-1)0的解集是_.解答：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.画图可知f(x)0的解集为x-1x1，f(x-1)0的解集为x0x2.答案:x|0x2绿色通道 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋予特殊值，如0，1等.典题变式 设函数f(x)在定义域R+上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1.求f(1)及f().解答:令x=,y=1,得f(1)=0.f()=1,f()=2.黑色陷阱 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.绿色通道 (1)两个偶函数之和为偶函数，两个偶函数之积为偶函数；(2)两个奇函数之和为奇函数，两个奇函数之积为偶函数；(3)一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数.典题变式 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=；(2)f(x)=解答：(1)x2=1，x=1，f(x)=0.f(x)是既奇又偶函数.(2)f(-x)=f(x).f(x)是偶函数.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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