高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的简单性质 2.2.4 函数的单调性、奇偶性综合应用课堂导学案 苏教版必修1

2.2.4 函数的单调性、奇偶性综合应用课堂导学三点剖析一、利用函数单调性、奇偶性的概念解题【例1】已知f(x)是奇函数,在(0,+)上是增函数,证明f(x)在(-,0)上是增函数.思路分析：由于函数f(x)是抽象函数，我们只能根据奇函数和增函数的定义证明.由于f(x)在（0，+）上是增函数，只要能将（-,0）上的任意两个数x1x2转化到（0，+）内，就可以得到关于f(x1)和f(x2)的不等式.证明:设x1x2-x20.f(x)在(0,+)上是增函数,f(-x1)f(-x2). 又f(x)是奇函数,-f(x1)-f(x2), 从而有f(x1)f(x2).f(x)在(-,0)上是增函数.温馨提示 从理论上我们得到奇函数在对称区间上的单调性相同,同理可证偶函数在对称区间上的单调性相反.此结论做题时可直接用.二、函数单调性与奇偶性的综合应用【例2】 设f(x)是定义在R+上的函数，满足条件：（1）f(xy)=f(x)+f(y);(2)f(2)=1；(3)在（0,+）上是增函数. 如果f(x)+f(x-3)2,求x的取值范围.解析：令x=y=2,代入（1）， 得f(4)=2f(2)=2.f(x)+f(x-3)=fx(x-3)=f(x2-3x),f(x2-3x)2=f(4).f(x)在（0，+）上递增， 解之得3x4. 故x的取值范围为（3，4.温馨提示 解此题的关键是通过函数单调性定义的可逆性，将函数值之间的大小关系转换为自变量或自变量函数式之间的大小关系，从而通过解不等式或不等式组求解.而所给出的函数又是抽象函数，故须通过赋具体值的方法，推证出函数的单调性，从而达到目的.三、复合函数的奇偶性、单调性【例3】 函数f(x),g(x)在区间-a,a上都是奇函数，则下列结论：f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数，其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析：定义域相同，由奇（偶）函数的定义便知三个命题均正确.答案：C温馨提示 偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（利用上述结论要注意各函数的定义域）F1（x）=f(x)+f(-x)为偶函数；F2（x）=f(x)-f(-x)为奇函数.各个击破类题演练 1已知偶函数f(x)在区间0，上单调递增，那么下列关系成立的是（ ）A.f(-)f(-2)f() B.f(-)f(-)f(-2)C.f(-2)f(-)f(-) D.f(-)f(-2)f()解析：由函数奇偶性和单调性， 可推得f()f(2)f(), 即f（）f(-2)f(-). 故选A.答案：A变式提升 1定义在(-2,2)上的偶函数f(x),当x0时,f(x)是减函数,如果f(2-a)f(a),求a的取值范围.解析：f(x)在(-2,2)上为偶函数,f(|x|)=f(x). 由f(2-a)f(a)可得f(|2-a|)f(|a|). 又f(x)当x0时为减函数, 解得0a1.所求a的范围为(0,1).类题演练 2设函数f(x)对于任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x0时，f(x)0,f(1)=-2.求证f(x)是奇函数.证明：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x=0和y=-x,分别得f(0)=f(0)+f(0)f(0)=0.f(x-x)=f(x)+f(-x)=0f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.变式提升 2设函数f(x)的定义域为R，对任意实数，x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f()f(),且f()=0,f()=-1,(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是偶函数且f(-x)=-f(x).（1）解析：令x1=x2=,则f()+f()=2f()f(0), 又f()=-1,f(0)=1.(2)证明：令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x),=2f(0)f(x).f(x)=f(-x).f(x)为偶函数.f(-x)+f(x)=2f（）f()=2f()f()=0,f(-x)=-f(x).类题演练 3判断下列函数的奇偶性，并说明理由.(1)f(x)=+;(2)f(x)=+.解析：（1）f(x)+f(-x)=+=+1=+1=-1+1=0, 即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.（2）f(x)的定义域为-1，1，关于原点对称，又f(-1)=f(1)=0,即f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1). 故f(x)既是奇函数，又是偶函数.变式提升 3已知函数f(x)=.(1)画出f(x)的草图；（2）由图象指出f(x)的单调区间；解析：（1）由f(x)=得f(x)=1-.f(x)的图象可由y=-的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到如右图.(2)由图象看出f(x)的单调区间为：（-,-1）,(-1,+)都为增区间.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375