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211函数的概念和图象第1课时函数的概念1体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念2了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体数值时，相应的y值与之对应“yf(x)”仅仅是函数符号，还可用“yg(x)”“yF(x)”“yG(x)”等来表示函数关系【做一做11】已知f(x)，则f(7)_答案：5【做一做12】求下列函数的定义域和值域(1)y；(2)y3解：(1)定义域：(，0)(0，)，值域：(，0)(0，)；(2)定义域：1，)，值域：3，)1三种基本初等函数的定义域和值域剖析：(1)一次函数f(x)kxb(k0)的定义域是R，值域是R(2)反比例函数f(x)(k0)的定义域是(，0)(0，)，值域是(，0)(0，)(3)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域是R当a0时，值域是；当a0时，值域是2如何判断两个函数是同一函数剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则例如，函数yx1与yx1，它们的定义域都是R，值域都是R，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数题型一 函数的概念【例1】下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的有_f(x)，g(x)()4f(x)x，g(x)f(x)1，g(x)1(x0)f(x)x1，g(x)|x1|解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：定义域相同；对应法则相同对于，两函数的定义域不同，其中f(x)的定义域为x|xR，g(x)的定义域为x|x0；对于，定义域、值域和对应法则都相同，所以f(x)与g(x)表示同一函数；对于，定义域不同，其中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0；的对应法则不同答案：反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y2；(2)y·；(3)y分析：给定函数时，要指明函数的定义域对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合解：(1)要使函数有意义，必须满足x20成立，即x2，所以这个函数的定义域为x|xR，且x2(2)要使函数有意义，必须满足成立，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|xR，且1x3(3)要使函数有意义，必须满足成立，解得x1，所以这个函数的定义域为x|x1反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论题型三 求函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y；(2)y分析：求函数的值域没有统一的方法如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等解：(1)(观察法)y2因为x3，0，所以y2故所求函数的值域为y|y2(2)(逐步求解法)先分离常数，y1x211，01211y2,1)题型四 求已知函数的函数值【例4】已知f(x)x21，g(x)，(1)求f(2)和g(a)；(2)求fg(1)和gf(x)分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求fg(a)时，一般遵循先里后外的原则，先求g(a)，然后将f(x)解析式中的x代换为g(a)，同时要注意函数的定义域解：(1)f(2)2215，g(a)(2)fg(1)1；gf(x)g(x21)反思：要正确理解f(a)的含义如果自变量取a，则由对应法则f确定的y的值称为函数在a处的函数值，记作f(a)；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f”和“g”的含义1已知函数f(x)，则函数ff(x)的定义域是_解析：由条件得：ff(x)，从而由得之答案：x|x1，且x22设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则f2010(x)等于_解析：因f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)x，所以它的规律是以4为周期，从而由2 0104×5022，得f2 010(x)f2(x)答案：3函数y(xR)的值域是_解析：(方法一)由y，得x20解之，得0y1(方法二)y1，x211，100y1答案：0,1)已知Px|0x4，Qy|0y2，下列对应不表示从P到Q的函数的有_(1)f：xyx(2)f：xyx(3)f：xyx(4)f：xy解析：因为当x4时，y6不在集合Q中，(3)不符合函数的定义，其他均符合6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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