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第三章导数及其应用时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设正弦函数ysin x在x0和x附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为(A)Ak1>k2Bk1<k2Ck1k2D不确定解析ysin x，ycos x，k1cos 01，k2cos0，k1>k2.2yx在x1处切线方程为y4x，则的值为(B)A4 B4C1 D1解析y(x)x1，由条件知，y|x14.3函数yx2cos x的导数为(A)Ay2xcos xx2sin xBy2xcos xx2sin xCyx2cosx2xsin xDyxcosxx2sin x解析y(x2cos x)(x2)cos xx2·(cos x)2xcos xx2sin x.4函数y12xx3的单调递增区间为(C)A(0，)B(，2)C(2,2)D(2，)解析y123x23(4x2)3(2x)(2x)，令y>0，得2<x<2，故选C5(2016·福建宁德市高二检测)曲线f(x)在xe处的切线方程为(A)AyByeCyxDyxe解析f(x)，f(e)0，曲线在xe处的切线的斜率k0.又切点坐标为(e，)，切线方程为y.6已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.7三次函数f(x)mx3x在(，)上是减函数，则m的取值范围是(C)Am<0Bm<1Cm0Dm1解析f (x)3mx21，由题意知3mx210在(，)上恒成立，当m0时，10在(，)上恒成立；当m0时，由题意得m<0，综上可知m0.8已知抛物线y2x2bxc在点(2，1)处与直线yx3相切，则bc的值为(C)A20B9C2D2解析由题意得y|x21，又y4xb，4×2b1，b9，又点(2，1)在抛物线上，c11，bc2，故选C9三次函数当x1时，有极大值4；当x3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(B)Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x解析设函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，函数图象过原点，d0.f (x)3ax22bxc，由题意得，即，解得，f(x)x36x29x，故应选B10(2016·山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)(D)A30元B60元C28 000元D23 000元解析设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或130(舍)此时L(30)23 000，因为在P30附近的左侧L(P)>0，右侧L(P)<0.所以L(30)是极大值也是最大值11(2016·山东滕州市高二检测)已知f(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是(C)解析x2时， f(x)取得极小值，在点(2,0)左侧，f(x)<0，xf(x)>0，在点(2,0)右侧f(x)>0，xf(x)<0，故选C12(2016·山西晋城月考)已知f(x)x33x，过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围是(D)A(1,1)B(2,3)C(1,2)D(3，2)解析设切点为(t，t33t)，f(x)3x23，则切线方程为y(3t23)(xt)t33t，整理得y(3t23)x2t3.把A(1，m)代入整理，得2t33t2m30.因为过点A可作三条切线，所以有三个解记g(t)2t33t2m3，则g(t)6t26t6t(t1)，所以当t0时，极大值g(0)m3，当t1时，极小值g(1)m2.要使g(t)有三个零点，只需m3>0且m2<0，即3<m<2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13若函数f(x)x3f(1)x22x5，则f(2).解析f(x)3x22f(1)x2，f(1)32f(1)2，f(1).因此f(2)124f(1)2.14已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为c<.解析f (x)x2xc且f(x)有极值，f (x)0有不等的实数根，即14c>0.解得c<.15已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_2_.解析f(x)x22x1，令f(x)<0，得1<x<1，f(x)在(1，1)上单调递减，即f(x)在0,1上单调递减，f(x)minf(1)11m，解得m2.16设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_a<1_.解析yexax，yexa.当a0时，y不可能有极值点，故a<0.由exa0，得exa，xln(a)xln(a)即为函数的极值点ln(a)>0，即ln(a)>ln1.a<1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知f(x)x2axb，g(x)x2cxd，又f(2x1)4g(x)，且f (x)g(x)，f(5)30.求g(4)解析由f(2x1)4g(x)，得4x22(a2)x(ab1)4x24cx4d.于是有由f (x)g(x)，得2xa2xc，ac，由f(5)30，得255ab30.由可得ac2，由得b5，再由得d，g(x)x22x.故g(4)168.18(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求实数a的值.解析设直线与曲线yx3的切点坐标为(x0，y0)，由题意得，解得x00或x0.当x00时，切线的斜率k0，切线方程为y0.由，得ax2x90.()236a0，解得a.当x0时，k，其切线方程为y(x1)由，得ax23x0.(3)29a0，解得a1.综上可知a1或a.19(本题满分12分)(2016·安徽合肥高二检测)已知函数f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，求f(x)的极值.解析f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，f(x)48x240ax8a28(6x25axa2)8(2xa)(3xa)，令f(x)0，得x1，x2.(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f(x)、 f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当a时，函数取得极大值f()；当x时，函数取得极小值f()0.(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f(x)、 f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x时，函数取得极大值f()0；当x时，函数取得极小值f().综上所述，当a>0时，函数f(x)在x处取得极大值f()，在x处取得极小值f()0；当a<0时，函数f(x)在x处取得极大值f()0在x处取得极小值f().20(本题满分12分)(2017·全国文，21)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)2.解析(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)>0，故f(x)在(0，)上单调递增若a<0，则当x(0，)时，f(x)>0.当x(，)时，f(x)<0.故f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f()ln()1.所以f(x)2等价于ln()12，即ln()10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)>0；当x(1，)时，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x>0时，g(x)0.从而当a<0时，ln()10，即f(x)2.21(本题满分12分)(2017·全国文，21)已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围解析(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a>0，则由f(x)0得xlna.当x(，lna)时，f(x)<0；当x(lna，)时，f(x)>0.故f(x)在(，lna)上单调递减在(lna，)上单调递增若a<0，则由f(x)0得xln()当x(，ln()时，f(x)<0；当x(ln()，)时，f(x)>0.故f(x)在(，ln()上单调递减，在(ln()，)上单调递增(2)解：若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a>0，则由(1)得，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)a2lna，从而当且仅当a2lna0，即a1时，f(x)0.若a<0，则由(1)得，当xln()时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln()a2ln()，从而当且仅当a2ln()0，即a2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，122(本题满分12分)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，x>0，P(x)0时，x12，当0<x<12时，P(x)>0，当x>12时，P(x)<0，x12时，P(x)有最大值即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大(3)MP(x)30x260x327530(x1)23305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1,19，且xN.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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