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2.3 映射的概念自主广场我夯基 我达标1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是( )A.B中的某一个元素b的原象可能不止一个B.A中的某一个元素a的象可能不止一个C.A中的两个不同元素所对应的象必不相同D.B中的两个不同元素的原象可能相同思路解析：映射在法则f的作用下，集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的.不要求B中的每一个元素都有原象，也就是说，象集C是集合B的子集.答案:A2.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是( )A.2 B.3 C.4 D.5思路解析:本题主要考查映射的概念，同时考查了运算能力.因为2n+n=20，用n=2，3或4,5逐个代入，排除A、B、D，得出正确答案.选C.答案:C3.设集合A和B都是坐标平面上的点集(x,y)xR，yR，映射f:AB使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下象(2，1)的原象是( )A.(3，1) B.(,) C.(,-) D.(1，3)思路解析：本题主要考查映射的概念及解方程的思想.由答案:B4.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是( )A. B. C. D.思路解析:在中，A中的元素a2与B中的两个元素b2、b3对应(“象不唯一”)；在中，A中的元素a2在B中没有元素与它对应(“没有象”)，故和都不是集合A到集合B的映射.根据映射的定义，和是集合A到集合B的映射.答案:B5.下列集合A到集合B的对应中，判断哪些是A到B的映射,哪些是A到B的一一映射.(1)A=N,B=Z，对应法则f:xy=-x,xA,yB.(2)A=R+,B=R+,f:xy=,xA,yB.(3)A=|090,B=x|0x1，对应法则f:取正弦.(4)A=N*，B=0,1，对应法则f:除以2得的余数.(5)A=-4,-1,1,4，B=-2,-1,1,2，对应法则f:xy=|x|2,xA,yB.(6)A=平面内边长不同的等边三角形，B=平面内半径不同的圆，对应法则f:作等边三角形的内切圆.思路解析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致、周全.答案:(1)是映射，不是一一映射.因为集合B中有些元素(正整数)没有原象.(2)是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.(3)是映射，是一一映射.因为集合A中的角的正弦值各不相同，且集合B中每一个值都可以是集合A中角的正弦值.(4)是映射，不是一一映射.因为集合A中不同元素对应集合B中相同的元素.(5)不是映射.因为集合A中的元素(如4)对应集合B中两个元素(2和-2).(6)是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆.边长不同，圆的半径也不同.说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合A，集合B及对应法则f有哪些具体要求，包括对法则f是数学符号语言给出时的理解.6.给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_.B中任何一个元素在A中必有原象;A中不同元素在B中的象也不同;A中任何一个元素在B中的象是唯一的;A中任何一个元素在B中可以有不同的象;B中某一元素在A中的原象可能不止一个;集合A与B一定是数集；记号f:AB与f:BA的含义是一样的.思路解析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助.答案:7.(1)A=N，B=R，f:xy=，xA，y B.在f的作用下，的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合A=N,B=偶数，映射f:AB把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2-a，则在映射f下，象20的原象是多少？(3)f:AB是从A到B的映射，其中A=R，B=(x,y)|x,yR，f:x(x+1,x2+1)，则A中元素的象是多少?B中元素(2,2)的原象是多少?思路解析：通过此题使学生不仅会求指定元素的象与原象，而且明确求象与原象的方法.解答：(1)由=，解得x=6，故的原象是6;又，故14的象是.(2)由a2-a=20解得a=5或a=-4，又aN，故a=5,即20的原象是5.(3)的象是(+1,3)，由解得x=1，故(2,2)的原象是1.8.已知集合A=xx0，xR，B=R，对应法则是“取负倒数”.(1)画图表示从集合A到集合B的对应(在集合A中任取四个元素)；(2)判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射；(3)元素-2的象是什么？-3的原象是什么？(4)能不能构成从集合B到集合A的映射？答案:(1)(2)因为每一个非零实数(即A中任意一个元素)都有唯一的负倒数在实数集中(即在法则“取负倒数”下，都在集合B中有且只有唯一的元素与之对应)，所以这个对应是从集合A到集合B的映射.(3)元素-2的象是-2的负倒实数，-3的原象是-3的负倒实数.(4)因为B中有一个元素“0”，而在集合A中没有负倒数为0的元素与之对应，即集合B中不是任意一个元素在A中都存在非零实数以其为负倒数，所以由集合B到集合A构不成映射.9.设集合A=1，2，3，k，B=4，7，a4，a2+3a，其中a、kN，(映射f:AB，使B中元素y=3x+1与A中元素x对应，求a及k的值.思路解析：B中元素y=3x+1与A中元素x对应，A中元素1的象是-4，A中元素2的象是7，A中元素3的象是10，故有a4=10或a2+3a=10.而aN，所以由a2+3a=10解得a=2；由k的象是a4，得3k+1=24，解得k=5.答案:a=2；k=5.10.(1)已知集合A=a1,a2，B=b1,b2，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种?(2)已知集合A=a1,a2，B=b1,b2，b3，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种?思路解析:当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.解答：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4种不同的映射(见下图).(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情形考虑.A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6种不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9种.我综合 我发展11.以下对应不是从集合M到集合N的映射的是( )A.M=P|P是数轴上的点，N=R，对应关系f：数轴上的点与它代表的实数对应B.M=P|P是平面坐标系中的点，N=(x，y)|x、yR，对应关系f：平面坐标系中的点与它代表的坐标对应C.M=x|x是三角形，N=x|x是圆，对应关系f：每个三角形都对应它的内切圆D.M=x|x是新华中学的班级，N=x|x是新华中学的学生，对应关系f：每个班级都对应班里的学生思路解析：考查映射的概念.据映射的概念，在对应法则f下从A到B的映射，是指集合A中任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，而集合B中的元素可以无原象，由此可知四个选项中A、B、C均正确，只有D不符合要求，故选D.答案:D12.已知集合A=1,2,3,a，B=4,7,b4,b2+3b，其中aN*，bN*.若xA，yB，映射f:AB使B中元素y=3x+1和A中元素x对应.求a和b的值.思路解析:利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.解答：A中元素x对应B中元素y=3x+1，A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.b4=10或b2+3b=10.又bN*，b2+3b-10=0.解之，得b=2.a的象是b4=16，3a+1=16.解之，得a=5.我创新 我超越13.集合M=a，b，c，N=-1，0，1，映射f：MN满足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f：MN的个数是( )A.3 B.4 C.5 D.7思路解析：f(a)N，f(b)N，f(c)N且f(a)+f(b)+f(c)=0，有0+0+0=0+1+(-1)=0.当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射；当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1、-1时，有=6个映射.因此所求映射的个数为1+6=7.答案:D6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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