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23映射的概念1理解映射的概念及表达方法2会判断一个对应是否为映射映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射记作f：AB若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有mn个【做一做11】根据对应法则f：x2x1，写出图中给定元素的对应元素(1)(2)答案：(1)135(2)456【做一做12】已知映射f：AB，其中集合A3，2，1,1,2,3,4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是_答案：41怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b(4)符号“f：AB”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的2为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：AB实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应题型一 映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)AQ，BxQ|x0，f：x|x|；(2)ABN*，f：x|x2|；(3)AxN|x2，ByZ|y0，f：xyx22x1；(4)Ax|x0，By|yR，f：xy解：(1)中，当x0A时，|x|0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射(2)中，当x2A时，|x2|0B，与(1)类似，(2)也不是映射(3)中，因为y(x1)20，所以对任意x，总有y0；又当xN时，x22x1必为整数，即yZ所以当xA时，x22x1B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义用通俗的语言讲：AB的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是AB的映射，而后一种不是AB的映射题型二 映射的个数问题【例2】已知Ma，b，c，N2,0,2，且从M到N的映射满足f(a)f(b)f(c)，试确定这样的映射f的个数为_解析：因为从M到N的映射满足f(a)f(b)f(c)，所以，(1)当f(a)2时，有或或(2)当f(a)0时，有综上，从M到N满足f(a)f(b)f(c)的映射f的个数是4答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况【例3】已知A1,2,3,4，B6,7，则以A为定义域，B为值域的不同函数的个数为_解析：当A中有三个元素对应B中元素6时，另一个元素必须对应B中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A中有三个元素对应B中元素7时，另一个元素必须对应B中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A中有两个元素对应B中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数所以共可组成44614(个)不同函数答案：14反思：求解此题要特别注意集合B必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所对应的元素组成的题型三 映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组例如I am your friend添一个o，分组为：Ia my ou rf ri en do，得到，其中9表示I在26个英文字母中的序号，1表示a在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：来进行变换由，21260余21,21对应字母u,13260余13,13对应字母m，即Ia变成um将变成x213325101除以26得余数为23，即w；y13425113除以26得余数为9，即i试按上述方法及变换公式将明文I am your friend写成密文解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z，即ou不变；，即rf变成bp；，即ri变成kb；，即en变成zi；，即do变成al故密文为umwioubpkbzial反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算1下图中表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是_解析：图象中必须满足对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应答案：2若A(x，y)|xZ，|x|2，yN*，xy3，B0,1,2，从A到B的对应关系f：(x，y)xy，说明f是A到B的映射，并画出对应图，指出B中的元素2与A中的哪个元素对应分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为(1,2)，(1,3)，(1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)对应图如下图所示：集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，f是A到B的映射2与A中对应的元素有三个，即(1,3)、(0,2)、(1,1)3(1)已知集合Aa1，a2，Bb1，b2，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合Aa1，a2，Bb1，b2，b3，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是A到B的映射，规定为：f：x(x1，x21)，试求在B中的对应元素及在A中的对应元素解：由条件知当x时，x11，x213所以在B中的对应元素为(1,3)；再由得x，说明点在A中的对应元素为5已知集合A到集合B的映射是f：x，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A解：f是映射，A中的每一个元素在B中都有惟一元素与它对应，但0，0在集合A中不存在元素与它对应当1时，得x2；当时，得x3；当时，得x4A中元素最多只能有6个，即A4，3，2,2,3,46EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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