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2.1.2 函数的表示方法自主广场我夯基 我达标1.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )A.y=50x(x0) B.y=100x(x0)C.y=(x0) D.y=(x0)思路解析：由y=100得2xy=100,y=(x0).答案:C2.下列图形是函数y=-|x|(x-2，2)的图象的是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0x2)是直线y=-x上满足0x2的一条线段(包括端点)，y=x是直线y=x上满足-2x0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x轴下方.答案:B3.已知f(x)的定义域为-2，2，则f(x2-1)的定义域为( )A.-1， B.0， C.-， D.-4，4思路解析：-2x2-12，-1x23，即0x23，因此0|x|，-x.答案:C4.设f(x)=，则f()是( )A.f(x) B.-f(x) C. D.思路解析：f(x)=，f()=f(x).答案:A5.某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(不含3 km)，3 km后到10 km(不含10 km)每走1 km加价0.5元，10 km后每走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应交费_元.思路解析：把收费y元看成所求路程x km的函数，当0x3时应交6元,当3x10时应交6+70.5=9.5元,当x=12时，y=9.5+0.83=11.9元.答案:11.96.设f(x)=则fff(-)的值为_，f(x)的定义域是_.思路解析：-1-0，f(-)=2(-)+2=，而02，f()=-=-.-1-0，f(-)=2(-)+2=.因此fff(-)=.函数f(x)的定义域为x-1x0x0x2xx2=xx-1且x0.答案: xx-1且x07.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_，这个函数的定义域为_.思路解析：据长方体的体积公式，易得V=x(a-2x)2，其中0x.答案:V=x(a-2x)2 x|0x8.已知f(1-)=x，求f(x).思路解析：设1-=t，用换元法，同时应注意函数的定义域.答案:设1-=t，则x=(1-t)2.x0,t1.f(t)=(1-t)2(t1).f(x)=(x-1)2(x1).9.作出下列函数的图象：(1)y=|x-1|+2|x-2|； (2)y=|x2-4x+3|.思路解析：先写出函数的解析式，再画出其图象.解答：(1)y=|x-1|+2|x-2|=函数y=|x-1|+2|x-2|的图象如左下图所示. (2)y=|x2-4x+3|= 函数y=|x2-4x+3|的图象如右上图所示.10.设H(x)=画出函数y=H(x-1)的图象.思路解析：先求y=H(x-1)的函数解析式，再画其图象.解答：由H(x)=得到H(x-1)= 画出函数H(x-1)的图象，如图所示.11.A、B两地相距150 km，某汽车以每小时50 km的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60 km的速度返回A地.写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式，并画出图象.思路解析：该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数为分段函数，先写出其解析式，再画出其图象.解答：汽车由A地到B地共需=3(h),由B地返回A地共需=2.5(h),s=画出函数图象如图所示：12.如右图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2).一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止.设直线l与x轴的交点为M，OM=x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y.求函数y=f(x)的解析式，定义域，值域以及ff()的值.思路解析：这是由数学问题产生出函数关系的例子，结果是个分段定义函数.分段定义函数是一个函数，它在各“段”的对应法则是对定义域作分类而给出的，体现了整体和局部的关系.以上两种思想是认识分段定义函数的指导思想.如题图，由于点M在OA上的位置不同，题中所说的图形形状、求其面积的方法就不同，从而应对M点的位置，即x的取值作出分类讨论.解答：当0x2时，图形为等腰直角三角形，此时y=xx=x2;当2x4时，图形为一个直角梯形，它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形，此时y=22+(x-2)2=2x-2;当4x6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，此时y=(6+2)2-(6-x)2=-x2+6x-10.于是y=f(x)=并且函数y=f(x)的定义域是0，6.又当0x2时,0x22;当2x4时,22x-26;当4x6时,6-x2+6x-108.所以函数y=f(x)的值域为0，2(2，6(6，8，即为0，8.由于（2,4）,故f()=2-2=5.又5（4,6）,故f(5)=-52+65-10=.于是ff()=f(5)=.13.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.思路解析：求函数的定义域，如果是实际问题除应考虑函数解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如本题注意到矩形的长2x、宽a必须满足2x0和a0，即l-x-2x0.解答：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB=2x，宽为a.则有2x+2a+x=l，即a=-x-x，半圆的直径为2x，半径为x.所以y=+(-x-x)2x=-(2+)x2+lx.根据实际意义知-x-x0，因x0，解得0x，即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是x|0x.14.国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：信函质量(m)/g0m2020m4040m6060m8080m100邮资(M)/元0.801.602.403.204.00画出图象，并写出函数M=f(m)的解析式.思路解析：此题为分段函数，注意端点值.解答：邮资是信函质量的函数，函数图象如下图. 函数的解析式为M=我综合 我发展15.设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)=0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.思路解析:要求的函数为二次函数，一般可设其为f(x)=ax2+bx+c(a0)，然后根据已知条件求出系数a、b、c，从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故可设函数f(x)=a(x-2)2+k.解答：f(2+x)=f(2-x)，f(x)的图象关于直线x=2对称.于是，设f(x)=a(x-2)2+k(a0)，则由f(0)=3，可得k=3-4a，f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3.ax2-4ax+3=0的两实根的平方和为10，10=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-.a=1.f(x)=(x-2)2-1=x2-4x+3.我创新 我超越16.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2 m，渠深1.8 m，边坡的倾角是45.(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象.思路解析：利用等腰梯形的性质解决问题.解答：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2+2h) m，高为h m，水的面积A=h2+2h.(2)定义域为h|0h1.8.值域由二次函数A=h2+2h(0h1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数为增函数，所以0A6.84.故值域为A|0A6.84.(3)函数图象如下确定.由于A=(h+1)2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为(-1，-1)，且图象过(0，0)和(-2，0)，又考虑到0h1.8，A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分，如右图所示.17.如右图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示APB的面积，求函数y=f(x)的解析式.思路解析：由P点的运动方向知，当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应的解析式不同，因此这是个分段函数.解答：由已知，得y=6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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