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第三讲 柯西不等式与排序不等式单元整合知识网络 专题探究专题一柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的取值范围提示：由a2b2c2d2e2联想到应用柯西不等式解：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2,644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0，0e.即e的取值范围是.若n是不小于2的正整数，试证：1.提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简证明：12，所以求证式等价于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有.综上，原不等式成立专题二排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找在ABC中，试证：.提示：可构造ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明证明：不妨设abc，于是ABC，由排序不等式，得：aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)，得.由得原不等式成立专题三利用不等式解决最值问题利用不等式解决最值问题，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足设a，b，c为正实数，且a2b3c13，求的最大值解：根据柯西不等式，知(a2b3c)2()2，()2，则，当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c时，有最大值.专题四利用柯西不等式解决实际问题数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型如图，等腰直角三角形AOB的直角边长为1.在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置解：分别取OA，OB为x轴、y轴，则AB的方程为xy1，记P点坐标P(xP，yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为Sxy(1xPyP)2，则2Sxy(1xPyP)2.由柯西不等式，得xy(1xPyP)2(121212)xPyP(1xPyP)2，即2S36S1，所以S.当且仅当时，等号成立，即xPyP时，面积S最小，且最小值为.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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