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222函数的奇偶性1了解函数奇偶性的含义2会判断一些简单函数的奇偶性3了解奇函数和偶函数图象的特点1奇函数和偶函数(1)一般地，设yf(x)的定义域为A，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数(2)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数【做一做1】有下列函数：y2x；y；yx2；yx3x；yx2x；y；y2x21；y2|x|2其中奇函数有_，偶函数有_答案：2奇偶性(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求xA，xA，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数【做一做21】已知f(x)ax3bx3中，f(2)3，则f(2)_解析：因为f(x)f(x)6，所以由f(2)3，得f(2)9答案：9【做一做22】函数f(x)x的奇偶性是_答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数如函数f(x)x41，x1,2由于它的定义域不关于原点对称，当1x2时，x不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f(x)x41，x1,2是非奇非偶函数再看f(x)与f(x)的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数如f(x)x2x，g(x)x31，它们的定义域都是R，因为f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以它是非奇非偶函数同理可证g(x)x31也是非奇非偶函数然后得出结论(2)定义域关于原点对称，满足f(x)f(x)f(x)的函数既是奇函数也是偶函数，如f(x)0(xR)应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(x)f(x)0或1(f(x)0)来代替(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)a(xR)；(4)f(x)分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可解：(1)函数的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)(x)32(x)2xx3f(x)，所以f(x)是奇函数(3)函数的定义域为R，关于原点对称，当a0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a0时，f(x)af(x)，即f(x)是偶函数(4)函数的定义域为R，关于原点对称，当x0时，x0，此时f(x)x1(x)x(1x)f(x)；当x0时，x0，此时f(x)x1(x)x(1x)f(x)；当x0时，x0，此时f(x)0，f(x)0，即f(x)f(x)综上，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f(x)f(x)或f(x)f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一题型二 求函数解析式【例2】设f(x)是定义在(，)上的奇函数，且x0时，f(x)x22x1，求f(x)的解析式解：当x0时，则x0，所以f(x)(x)22(x)1x22x1又f(x)是奇函数，有f(x)f(x)，所以f(x)x22x1所以f(x)x22x1当x0时，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以一定有f(0)0所以函数f(x)的解析式为f(x)反思：本题中xR，容易遗漏x0的情况，对于定义在R上的奇函数一定有f(0)0，这是一个重要的结论，要引起重视【例3】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)x22x3求f(x)和g(x)的解析式分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式解：由条件得f(x)g(x)(x)22(x)3x22x3又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)x22x3f(x)g(x)x22x3，两式相减得f(x)2x，两式相加得g(x)x23反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差题型三 函数奇偶性的应用【例4】画出函数f(x)x22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间解：函数图象如图所示由图象，得函数的图象在区间(，1和0,1上是上升的，在1,0和1，)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(，1，0,1上是增函数；函数在1,0，1，)上是减函数，最大值是4反思：本题中，已知函数满足f(x)f(x)，说明f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称，由此可先作出函数在y轴右侧的图象，再将其沿y轴翻折即可1函数f(x)x(x21)的大致图象是_解析：因为f(x)x(x)21f(x)，所以原函数是奇函数排除又当x时，y0，说明点在第四象限排除答案：2函数f(x)x3bx2cx是奇函数，函数g(x)3x2(c2)x5是偶函数，则b_，c_解析：由条件得f(x)f(x)2bx20，b0由条件得g(x)g(x)，且g(x)3x2(c2)x5，g(x)3x2(c2)x5，c2答案：023判断下列函数的奇偶性(1)f(x)2x27；(2)f(x)2x35x；(3)f(x)5x3解：(1)因为f(x)的定义域为R，且f(x)2(x)272x27f(x)，所以f(x)2x27为偶函数；(2)因为f(x)的定义域为R，且f(x)2(x)35(x)(2x35x)f(x)，所以f(x)2x35x为奇函数；(3)f(x)的定义域是R因为f(1)5(1)382f(1)，故f(x)5x3不是奇函数又f(1)5(1)382f(1)，故f(x)5x3不是偶函数综上所得f(x)5x3为非奇非偶函数已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)求当x0时，f(x)的解析式解：令x0，则x0，f(x)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)f(x)(x0)5已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，试比较f(5)与f(3)的大小分析：利用单调性比较大小解：函数yf(x)是定义在R上的偶函数，f(5)f(5)又函数yf(x)在2,6上是减函数，且53，f(5)f(3)f(5)f(3)6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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