代数变形常用技巧及其应用

代数变形常用技巧及其应用摘 要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用关键词：代数变形 换元法 直接法 公式法 分解组合思想 待定系数法IThe common skills and application of the algebra distortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skills uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient methodII 目 录摘 要IAbstractII一、绪论1二、换元法及其应用1（一）换元法的定义1（二）换元法的应用21应用于三角中22应用于分式不等式中23在方程组中的应用3三、直接法及其应用4（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入4（二）在不等式中的应用5（三）在求极限中的应用5（四）在求导中的应用6四、数学公式法及其应用7（一）完全平方公式的变形及应用7（二）三角公式变形及其应用7（三）行列式变形及其应用8五、分解组合思想及其应用9（一）配方法91应用于解方程和因式分解中92应用于二次型中103用配方法证明柯西不等式10（二）拆项法111应用于数列求和112应用于行列式11（三）加“0”乘“1”法121加“0”122乘“1”133应用于行列式13六、待定系数法及其应用14（一）待定系数法14（二）应用141在有理分式分解中的应用152在求取值范围中的应用163在数列求和中的应用164在极限中的应用17结束语18致 谢19参考文献20一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题 （二）换元法的应用1应用于三角中例 求证证明 令 ，则左边，右边左边，所以原恒等式成立2应用于分式不等式中例 试证对满足，的所有实数，有不等式：，并求出等号成立的充要条件证明 设，则，所以 ，因此 即 ，且当且仅当等号成立3在方程组中的应用例 已知方程组(1)， 求 (1)解 由第一个方程可知，设用去乘第个方程，两边得，所以有，又因为所以三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例 (1) 已知，且，求的值 (2) 已知，求的值解 (1) 由已知 ，所以 ，同理可得到，(2) 由已知条件知，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去，得：，因此，所以（二）在不等式中的应用例 设，且 求证： 证明 因为 ，所以，原不等式变形为，即，由算术平均调和平均，可得下式成立： 所以所求的原不等式成立（三）在求极限中的应用例 求数列极限解 先求函数极限，对数后的极限为：，所以由归结原则可得：（四）在求导中的应用例 设 ，求解 先对函数式取对数得，再对上式两边分别求导数，得，整理后得到四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ，我们可以进行恒等变形为：(1)；(2)；(3)上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明例 化简 解 原式（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用例 求证：证明 左边 （三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果例 计算阶行列式解 此式不是范德蒙德行列式将第行，第行，第行分别向上和相邻行交换次，次，次，共交换了次，得由阶范德蒙德行列式的计算公式得五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法（一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式通过配方法解决数学问题的方法叫配方法其中用的最多的是配成完全平方式1 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式，可使其呈现某一式的完全平方但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件例 设，求的值解 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 2应用于二次型中例 用配方法将下列二次型化为标准型 解 二次型可化为，令 ， 即 ，则有的标准型为3用配方法证明柯西不等式例 (柯西不等式)设，那么，当且仅当，时不等式取等号证明 当=0，即时，不等式成立；当0时，作二次函数 当且仅当即时等号成立，因为的充要条件是，所以 ，化简整理得，在前面等式中令， 当且仅当，时不等式取等号（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易1应用于数列求和例 计算解 由 ，原式=2应用于计算行列式例 计算阶行列式解 按最后一列拆项得等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出后，第列减去最后一列的倍，即得（三）加“0”乘“1”法1加“0”例 在等差数列与等比数列中，求证：当 时，证明 2乘“1”例 设，求证：+2证明 =，同理 ，所以有+=2，又上述三个不等式中“=”不能同时成立故+23应用于计算行列式例 计算阶行列式解 将行列式加边升阶为 六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法（二）应用1在有理分式分解中的应用例 对作部分分式分解解 令，分母可写为几个因式乘积的形式即：，则部分分式分解的待定形式为：，用乘以上式两边，得一恒等式，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：求出它的解： 并代入式所以原式的部分分式分解为2在求取值范围中的应用例 已知，求证：证明 令 ，比较两边的对应系数，得： 由于，所以有3在数列求和中的应用例 求解 设 ，比较两边对应项的系数，可得，故，则有 4在极限中的应用例 若，求解 设，比较系数得 解得，所以 代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法致 谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学感谢学校提供了良好的学习环境最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助参考文献1张钟宜略谈三角恒等变形的技巧和方法J数理化学习（高中版）2陆如龙戴志祥证明分式不等式的变形技巧河北理科教学研究2003（1）3丁胜应用恒等变形解决数学问题J成都纺织高等专科学校学报2005（4）4RestonVANational of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics199865华东师范大学数学系编数学分析（第三版）M北京：高等教育出版社，2001（2003重印）6申志强例说代数式的恒等变形J中学数学杂志2004（1）7仉志余等线性代数分级讲练教程M北京大学出版社2006(6)8Rorres CAnton HApplications of linear algebra3rd edJohn wiley & SonsInc，1984 9罗仁幸初等数学解题变形技巧漫谈J宝山师专学报1995（2）10袁良佐“加0”与“乘1”中学生数学J2002（6）11李亚丽待定系数法在不等式中的应用J创新篇解题思想方法2006（6）12田宝运高元仁待定系数法在解题中的应用J数理化学习(高中版)13Loren CLarsonProblem-Solving Through Problems Springer-Verlag198318 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